分形介質(zhì)上的分式Fokker-Planck方程.pdf

1、摘要 2摘要本X研究了 一般外勢(shì) 卜 分式F o k k e r - P l a n c k 方程及其解的性質(zhì)， 證明了分式F o k k e r - P l a n c k 方程的漸近解是服從伸展的G a u s s 分布的， 并且在一般外勢(shì)下它的解可 以表示成 無(wú)量綱相似變最函 數(shù)的 形式。 為了 描述有偏非均的 分形結(jié)構(gòu)的介質(zhì)受外力的作用， 引進(jìn)了有偏非均的分式F o k k e r - P l a n c k 方程。 可以證明

2、有偏非均的分式F o k k e r - P l a n c k 方程服從廣義E i n s t e i 。 關(guān)系， 其穩(wěn)定解是廣義B o l t z m a j 、 分布。 并且其漸近解是伸展的G a u s s 的， 對(duì)常勢(shì)和一般外勢(shì)在原點(diǎn)有單一的極性， 可以表示成無(wú)量綱相似變量函數(shù)的形式。 關(guān) 鍵詞: 奇異擴(kuò)散 分式F o k k 二 一 P l a n c k 方程、 分 數(shù)次導(dǎo)數(shù)a b s t r a c tW e p r

3、 o v e t h a t . t h e a s y m p t o t i c s h a p e o f t h e s o l u t i o n o f t h e f r a c t i o n a lF o k k e r - P l a n c k e q u a t i o n i s a s t r e t c h e d G a u s s i a n a n d t h a t

4、 i t s s o l u t i o n c a n b ee x p r e s s e d i n t h e f o r m o f a d i m e n s i o n l e s s s i m i l a r i t y v a r i a b l e f o r g e n e r i c p o -t e n t i a l s , a n d W e i n t r o d u

5、c e a b i a s e d h e t e r o g e n e o u s f r a c t i o n a l F o k k e r - P l a n c ke q u a t i o n ( B H F F P E ) o n b i a s e d h e t e r o g e n e o u s f r a c t a l s t r u c t u r e m e d i a d

6、e s c r i b -i n g s y s t e m s i n v o l v i n g e x t e r n a l f o r c e f i e l d s . T h e B H F F P E i s s h o w n t o o b e yg e n e r a l i z e d E i n s t e i n r e l a t i o n , a n d i t s s

7、t a t i o n a r y s o l u t i o n i s t h e g e n e r a l i z e dB o l t z m a n n d i s t r i b u t i o n . I t i s p r o v e n t h a t t h e a s y m p t o t i c s h a p e o f i t s s o l u t i o ni s a

8、 s t r e t c h e dG a u s s i a n a n d t h a t . i t s s o l u t i o n c a n b e e x p r e s s e d i n t h e f o r mo f a f u n d i o n o f a d i m e n s i o n l e s s s i m i l a r i t y v a r i a b l

9、 e f o r c o n s t a n t a n d g e n e r i cp o t e n t i a l s w i t h p o l a r s i n g u l a r i t y a t , o r i g i nK e y w o r d s : a n o m a l o u s d i f u s i o n , f r a c t i o n a l F o k k e r

10、- P l a n c k e q u a t i o n ,f r a c t i o n a l d e r i v a t i v e乓 J引育( i ) 在 外 勢(shì)是 常 數(shù)的 情形 下， 即 ， V ( x ) 二 c o n s t ， 相 應(yīng)的 擴(kuò) 散 過(guò) 程 服 從F i c k 第_定理. 均方位移和時(shí)間是線(xiàn)性關(guān)系。( x i ( t ) 卜 2 K tR . W ( . x , t ) 服 從G a u s

11、s 分 布( 1 . 4 ) a( i i ) 穩(wěn)定 解哄‘ 二l i m : 一 、 W ( X , t ) 服 從 G i b b s - B o l t z m a m ; 分 布W , ， 二 N e x p { - ( 3 V ( x ) } ,其中 N 是 標(biāo) 準(zhǔn)化 常 數(shù)， B o l t z m a n n 因 子 口 三( k B T 獷 ’ 。( i i i ) E i n s t e i n -

12、S t o k e s - S m o l u c h o w s k i 關(guān)系成立K =( i v ) 廣義E i n s t e i n 關(guān)系 成立( 二 ) 尸 1 F ( : P )2 丸 . 丁( 1 . 7 )( 1 . 8 )( 1 9 )( 1 . 1 0 )其中 ( 勸 尸 表 示 在 常 數(shù)力 F 作 用 下的 一階 矩。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā) 展， 物理學(xué)家研究了復(fù)雜系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。 這些 系 統(tǒng) 有 如下

13、特征[ 4 ] :( i ) 基 本單 元的 大 量多 樣性，( i i ) 單 元 之間的 強(qiáng) 相互 作 用，( i i i ) 最終 不 可 預(yù) 見(jiàn) 性。物理學(xué)家們發(fā)現(xiàn)復(fù)雜系統(tǒng)中的擴(kuò)散過(guò)程實(shí)驗(yàn)結(jié)果與經(jīng)典的擴(kuò)散過(guò)程不符合， 不再遵循G a u s s 統(tǒng)計(jì)學(xué)， F i c k 的第二定律不能描述這 類(lèi)擴(kuò)散過(guò)程。 特別地， 通過(guò)實(shí) 驗(yàn)可以 觀察到均方位移和時(shí)間不再是線(xiàn)性關(guān)系。 因此我們稱(chēng)此類(lèi)擴(kuò)散過(guò)程為奇異擴(kuò)散。在很多復(fù)雜系統(tǒng)中， 均方位

14、移和時(shí)間 t 呈指數(shù)關(guān)系( , , C 2 ( t ) ) 一 價(jià)t “ ( 1 . 1 1 )由 于 寬 的 分 布( b r o a d d i s t r i b u t i o n ) 和 長(zhǎng) 程 相 關(guān) ( l o n g - r a n g c o r r e l a t i o n ) ， 在( 1 . 1 1 ) 中 所表 現(xiàn)的 奇 異 擴(kuò)散 不 再 服從中 心 極限 定 理。 ( 1 . 1 1 ) 中 的 凡是