復(fù)雜區(qū)域上粘性-非粘性耦合方程的一個(gè)譜元方法.pdf

1、前言譜方法是一種既古老又 新興的求解偏微分方程的數(shù)值方法， 它起源 于R i t z - G a l e r k i n 方法， 是以正交多項(xiàng)式( 如三角多項(xiàng)式，G h e b y s h e v 多 項(xiàng) 式，L e g e n d r e 多 項(xiàng)式等) 作為基函 數(shù)的G a t e r k n 、 方法. 它使用 相對(duì)少 的未知數(shù)提供非常精確的逼近， 主要缺點(diǎn)是不能處理復(fù)雜的物理區(qū) 域. 這個(gè)困 難通常是通過區(qū) 城分解 加以 克服.

2、由P a t e r a l “ l 等人發(fā)展起來的 譜元方 法即 是基于 這一 技巧， 其 基 本思 想 是 將復(fù)雜區(qū) 域分解成 若干個(gè) 較 小的四 邊型或六面體區(qū)域， 然后在每個(gè)小區(qū) 域上使用譜方法.在一些數(shù)學(xué)物理及工程實(shí)際間題中， 常常要求在不同的子區(qū)域中 選 用不同的 數(shù)學(xué) 模型. 如氣體繞飛 行體流動(dòng)， 在邊界層附 近為 粘性流， 在 邊 界 層 外為 無 枯流 ， 兩 者 有 不 同 的 數(shù) 學(xué) 模 型， 為 粘 性/ 非

3、粘 性分 析. 粘 性 / 非 粘性 分析是區(qū) 域分解技 術(shù)中 較為 特殊的一 類技 巧， 顯然 它不同 于 一 般分解 技術(shù)之處 在于前 者 在不同 分 解區(qū) 域中 考 慮不 同 類型的 方 程， 因 此 具 有 更大 的 靈 活 性， 但 也 具 有 更 大的 難 度. 粘 性/ 非 粘 性 分 析 在 計(jì) 算 流 體中 的研究已 有 較長(zhǎng)的 歷 史， 但始終未能 得到較 大的 發(fā)展， 其 根本 原 因 在于以前的分解計(jì)算方法未能顯

4、而易見地達(dá)到減少計(jì)算量的目 的. 文 川引 進(jìn)了 求 解不 可 壓 粘 性/ 非 粘 性輛 合 方 程 的 一 種 新的 禍 合技 術(shù)， 通 過 構(gòu)造整體變分形式， 輛合間 題轉(zhuǎn)化成一個(gè)整體鞍點(diǎn)間題， 類似于由 純粘 性方程產(chǎn)生的鞍點(diǎn)間 題. 基于這種技巧， 改進(jìn)后的U z a w a 方法得以 成功 地應(yīng)用于韌合間 題計(jì)算， 從而有效克服了 傳統(tǒng)分解技術(shù)中 子區(qū) 域迭代造 成的重 復(fù)計(jì) 算間 題， 達(dá)到了 減少計(jì) 算量的目 的 .本文

5、 嘗試將上 述技巧 推廣 到更 一般的 計(jì)算區(qū) 域. 利用 基于 譜元 法的 四邊 形剖分， 枯 性/ 非 粘性方程得以 在很 大一 類復(fù)雜計(jì)算區(qū) 域中 計(jì) 算實(shí) 現(xiàn). 象在單區(qū) 城上的譜方 法情 形， 復(fù)雜區(qū) 域 上粘 性/ 非 粘性 藕合方程的 譜元法主要困難在于構(gòu)造兼容的速度和壓力空間以及壓力二次項(xiàng)， 使得著名的B a b u s k a - B r e z z i ' s I n f - S u p 條件得以 滿足，

6、從而 保證 譜 元離散 解的 存在性. 通過子區(qū) 域轉(zhuǎn)換和S o b o l e v 空間上的投影算子， 并借助在有限 元方法中 采用的B o l a n d - N i c o l a i d e 。 技巧[ 9 l ， 我們 證明了 粘性區(qū) 域和非 粘性區(qū) 域上的I n f - S u p 條件分別成立. 最后 利用 文 [ 2 } 中 處理粘性 / 非 枯 性交面 條件的 變 分方 法， 證明了 報(bào)合區(qū) 域上 整體I n f -

7、S u p 條件成立，復(fù) 雜 區(qū) 域 上 粘 性/ 非 粘 性 m 合 方 程的一個(gè)譜元方法黃鳳輝摘要本文 給出 了 分析復(fù) 雜區(qū) 域上 粘 性2 非 粘 性鍋合間 題的 一個(gè) 譜元法. 通過基于 譜元法的區(qū) 域 分解 技巧， 構(gòu) 造并分析了 復(fù)雜區(qū) 域上 粘性/ 非粘 性藕合問 題的一個(gè)高階算法. 通過整體變分方法并借助推廣了的 L a x - M i l g r a r n 鞍點(diǎn)理論， 采用有限元方法中 使用的B o l a n d