“圖形與變換” 的備課與教學(xué)

1、“圖形與變換”的備課與教學(xué) “圖形與變換”的備課與教學(xué)曹培英一、引進(jìn)的背景。為什么要在中小學(xué)引進(jìn)圖形與變換的內(nèi)容？不妨從數(shù)學(xué)本身和數(shù)學(xué)教育的歷史視角切入討論。我們知道，約公元前 300 年，古希臘著名數(shù)學(xué)家歐幾里得在前人基礎(chǔ)上寫成的不配名著《幾何原本》 ，幾乎包括了中小學(xué)所學(xué)習(xí)的平面幾何、立體幾何的全部?jī)?nèi)容。如此古老的幾何內(nèi)容，自然成了歷次數(shù)學(xué)課程改革關(guān)注的焦點(diǎn)。其中最為激進(jìn)的，如法國(guó)布爾巴基學(xué)派主要人物狄奧東尼甚至喊出了“歐幾里得滾出

2、去”的口號(hào)。但改來改去，歐氏幾何的一些內(nèi)容，仍然構(gòu)成了多數(shù)國(guó)家中小學(xué)數(shù)學(xué)幾何部分的主要內(nèi)容。有人稱之為“不倒翁現(xiàn)象” 。這是因?yàn)?，從?shù)學(xué)的視角歐氏幾何提供了現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)基本模型，非常直觀地反映了我們?nèi)祟惖纳婵臻g，刻畫了我們視覺所觀察到的物體形狀及其相互位置關(guān)系。這個(gè)模型的基本內(nèi)容是學(xué)生能夠理解和掌握的，并且應(yīng)用廣泛，也有利于引導(dǎo)中小學(xué)生從形的角度去認(rèn)識(shí)我們周圍的物體和生活空間。盡管歐氏幾何仍然具有難以替代的學(xué)習(xí)價(jià)值，但在以往的教學(xué)中

3、，它又確實(shí)暴露出一些問題。例如內(nèi)容體系比較封閉，脫離實(shí)際，教學(xué)代價(jià)太大，等等。這些問題需要數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)者與數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐者共同去面對(duì)、解決。怎樣改造這些傳統(tǒng)的、古老的幾不再存在（相似比為 1 除外） 。于是兩線段的比不變，又成了相似變換下的不變量。正是這些建筑在不變量和不變性基礎(chǔ)上的圖形性質(zhì)，構(gòu)成了我們所研究的幾何基本內(nèi)容。從國(guó)際數(shù)學(xué)課程改革的歷程來看，第二次世界大戰(zhàn)以后，特別是在上世紀(jì) 60 年代的“新數(shù)學(xué)”改革的浪潮中，將運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)

4、引入幾何，成了一種時(shí)尚。特別是平移、旋轉(zhuǎn)以及軸對(duì)稱、中心對(duì)稱等觀念已被不少國(guó)家的中小學(xué)教材所吸收，并放在比較重要的位置。如果說集合與對(duì)應(yīng)的思想的滲透，在某種意義上給傳統(tǒng)算術(shù)與代數(shù)注入了新的血液，那么運(yùn)動(dòng)變換觀點(diǎn)的滲透，則在一定程度上給歐氏幾何提供了更高的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)和更新的研究視野。由此可以說，將圖形變換的觀點(diǎn)和內(nèi)容適當(dāng)?shù)匾胛覈?guó)基礎(chǔ)教育的數(shù)學(xué)課程中，順應(yīng)了數(shù)學(xué)科學(xué)和數(shù)學(xué)教育的發(fā)展趨向。從兒童的生活世界來看，他們已經(jīng)接觸到了大量的物體、圖形

5、的平移、旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱變換現(xiàn)象。例如，電梯、地鐵列車車廂在平行移動(dòng)，時(shí)針、電風(fēng)扇葉片在旋轉(zhuǎn)，許多動(dòng)物、建筑物的開頭具有對(duì)稱性。這些現(xiàn)象為兒童學(xué)習(xí)圖形的變換提供了豐富多彩的現(xiàn)實(shí)背景。反過來，學(xué)習(xí)一點(diǎn)圖形的變換知識(shí)，也有助于兒童更好地觀察、認(rèn)識(shí)周圍生活中的這些現(xiàn)象。從兒童的年齡特征與認(rèn)知特點(diǎn)來看，小學(xué)生正處在好奇心濃厚的階段，通過圖形的變換可以引出無數(shù)美妙和圖案，使數(shù)學(xué)更生動(dòng)地與現(xiàn)實(shí)世界聯(lián)系起來，從而誘發(fā)學(xué)生主動(dòng)探索奧秘，激勵(lì)他們用圖形變換的