高等數(shù)學(xué)不定積分例題、思路和答案

1、1第4章不定積分不定積分內(nèi)容概要內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容不定積分的概念設(shè)，，若存在函數(shù)，使得對(duì)任意均有()fxxI?()FxxI?()()Fxfx??或，則稱為的一個(gè)原函數(shù)。()()dFxfxdx?()Fx()fx的全部原函數(shù)稱為在區(qū)間上的不定積分，記為()fx()fxI()()fxdxFxC???注：（1）若連續(xù)，則必可積；（2）若均為的原函數(shù)，則()fx()()FxGx()fx。故不定積分的表達(dá)式不唯一。()()FxGxC??性質(zhì)性質(zhì)1

2、：或；()()dfxdxfxdx??????()()dfxdxfxdx??????性質(zhì)2：或；()()FxdxFxC????()()dFxFxC???性質(zhì)3：，為非零常數(shù)。[()()]()()fxgxdxfxdxgxdx????????????第一換元積分法（湊微分法）設(shè)的原函數(shù)為，可導(dǎo)，則有換元公式：()fu()Fu()ux??(())()(())()(())fxxdxfxdxFxC???????????第二類換元積分法設(shè)單調(diào)、可導(dǎo)且

3、導(dǎo)數(shù)不為零，有原函數(shù)，()xt??[()]()ftt???()Ft則1()(())()()(())fxdxfttdtFtCFxC????????????分部積分法()()()()()()()()uxvxdxuxdvxuxvxvxdux???????不定積分計(jì)算方法有理函數(shù)積分若有理函數(shù)為假分式，則先將其變?yōu)槎囗?xiàng)式和真分式的和；對(duì)真分式的處理按情況確定。本章的地位與作用在下一章定積分中由微積分基本公式可知求定積分的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是求被積函數(shù)

4、的原函數(shù)問(wèn)題；后繼課程無(wú)論是二重積分、三重積分、曲線積分還是曲面積分，最終的解決都?xì)w結(jié)為對(duì)定積分的求解；而求解微分方程更是直接歸結(jié)為求不定積分。從這種意義上講，不定積分在整個(gè)積分學(xué)理論中起到了根基的作用，積分的問(wèn)題會(huì)不會(huì)求解及求解的快慢程度，幾乎完全取決于對(duì)這一章掌握的好壞。這一點(diǎn)隨著學(xué)習(xí)的深入，同學(xué)們會(huì)慢慢體會(huì)到！35435433288431118843(1)11118ln4ln13ln132xxxxxxxxxxdxxxdxxxxxx

5、xxxxxxC???????????????????????????????????22x★★★★★★(3)331dxx??思路思路：將被積函數(shù)裂項(xiàng)后分項(xiàng)積分。解：，令等式右邊通分后比較兩邊分321(1)(1)xxxx??????323111ABxCxxxx???????子的同次項(xiàng)的系數(shù)得：x解此方程組得：?????AB=0BCA=0AC=3112ABC?????????322213(21)312122111113()()22xxxxx

6、xxx????????????????222322222221(21)1312131213()()()24221(21)313121311213()()()24221111312ln1(())3()1312243()2422()132121ln1ln(1)3arctan().23xxxxxdxdxdxdxxxxxxxdxdxxxxxxC?????????????????????????????????????????????★★★★★★