不定積分的例題分析及解法[1]

1、1不定積分的例題分析及解法不定積分的例題分析及解法這一章的基本概念是原函數(shù)、不定積分、主要的積分法是利用基本積分公式，換元積分法和分部積這一章的基本概念是原函數(shù)、不定積分、主要的積分法是利用基本積分公式，換元積分法和分部積分法。對(duì)于第一換元積分法，要求熟練掌握湊微分法和設(shè)中間變量分法。對(duì)于第一換元積分法，要求熟練掌握湊微分法和設(shè)中間變量，而第二換元積分法重點(diǎn)要，而第二換元積分法重點(diǎn)要)(xu??求掌握三角函數(shù)代換，分部積分法是通過求掌握

2、三角函數(shù)代換，分部積分法是通過“部分地部分地”湊微分將湊微分將轉(zhuǎn)化成轉(zhuǎn)化成，這種轉(zhuǎn)化應(yīng)是朝有利，這種轉(zhuǎn)化應(yīng)是朝有利??ud?du?于求積分的方向轉(zhuǎn)化。對(duì)于不同的被積函數(shù)類型應(yīng)該有針對(duì)性地、靈活地采用有效的積分方法，例如于求積分的方向轉(zhuǎn)化。對(duì)于不同的被積函數(shù)類型應(yīng)該有針對(duì)性地、靈活地采用有效的積分方法，例如為有理函數(shù)時(shí)，通過多項(xiàng)式除法分解成最簡分式來積分，為有理函數(shù)時(shí)，通過多項(xiàng)式除法分解成最簡分式來積分，為無理函數(shù)時(shí)，常可用換元積分法。為

3、無理函數(shù)時(shí)，?？捎脫Q元積分法。)(xf)(xf應(yīng)該指出的是：積分運(yùn)算比起微分運(yùn)算來，不僅技巧性更強(qiáng)，而且業(yè)已證明，有許多初等函數(shù)是應(yīng)該指出的是：積分運(yùn)算比起微分運(yùn)算來，不僅技巧性更強(qiáng)，而且業(yè)已證明，有許多初等函數(shù)是“積不出來積不出來”的，就是說這些函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)來表示，例如的，就是說這些函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)來表示，例如；；；（其中（其中）等。）等。dxxx?sindxex??2dxx?ln1??xkdx22sin110

4、??k這一方面體現(xiàn)了積分運(yùn)算的困難，另一方面也推動(dòng)了微積分本身的發(fā)展，在第這一方面體現(xiàn)了積分運(yùn)算的困難，另一方面也推動(dòng)了微積分本身的發(fā)展，在第7章我們將看到這類章我們將看到這類積分的無限形式的表示。積分的無限形式的表示。一、疑難分析一、疑難分析（一）關(guān)于原函數(shù)與不定積分概念的幾點(diǎn)說明（一）關(guān)于原函數(shù)與不定積分概念的幾點(diǎn)說明（1）原函數(shù)與不定積分是兩個(gè)不同的概念，它們之間有著密切的聯(lián)系。對(duì)于定義在某區(qū)間上的函數(shù)）原函數(shù)與不定積分是兩個(gè)不同

5、的概念，它們之間有著密切的聯(lián)系。對(duì)于定義在某區(qū)間上的函數(shù)，若存在函數(shù)，若存在函數(shù)，使得該區(qū)間上每一點(diǎn)，使得該區(qū)間上每一點(diǎn)處都有處都有，則稱，則稱是在該區(qū)間上在該區(qū)間上)(xf)(xFx)()(xfxF??)(xF)(xf的原函數(shù)，而表達(dá)式的原函數(shù)，而表達(dá)式稱為稱為的不定積分。的不定積分。CCxF()(?為任意常數(shù)))(xf（2）的原函數(shù)若存在，則原函數(shù)有無限多個(gè)，但任意兩個(gè)原函數(shù)之間相差某個(gè)常數(shù)，因此求的原函數(shù)若存在，則原函數(shù)有無限多個(gè)

6、，但任意兩個(gè)原函數(shù)之間相差某個(gè)常數(shù)，因此求)(xf的不定積分的不定積分時(shí)，只需求出時(shí)，只需求出的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，再加上一個(gè)任意常數(shù)，再加上一個(gè)任意常數(shù)即可，即即可，即)(xf?dxxf)()(xf)(xFC。???CxFdxxf)()(（3）原函數(shù)）原函數(shù)與不定積分與不定積分是個(gè)體與全體的關(guān)系，是個(gè)體與全體的關(guān)系，只是只是的某個(gè)原函數(shù)，而的某個(gè)原函數(shù)，而)(xF?dxxf)()(xF)(xf是的全部原函數(shù)，因此一個(gè)原函數(shù)只有加上

7、任意常數(shù)的全部原函數(shù)，因此一個(gè)原函數(shù)只有加上任意常數(shù)后，即后，即才能成為才能成為?dxxf)()(xfCCxF?)(的不定積分，例如的不定積分，例如都是都是的原函數(shù)，但都不是的原函數(shù)，但都不是的不定積分，只有的不定積分，只有)(xf3211222???xxxx2x2才是才是的不定積分（其中的不定積分（其中是任意常數(shù)）是任意常數(shù)）。Cx?2x2C（4）的不定積分的不定積分中隱含著積分常數(shù)中隱含著積分常數(shù)，因此計(jì)算過程中當(dāng)不定積分號(hào)消失后一

8、定要，因此計(jì)算過程中當(dāng)不定積分號(hào)消失后一定要)(xf?dxxf)(C3（5）)(sincos)(cossinxdxdxxdxdx???（6）)cot(csc)(tansec22xdxdxxdxdx???（7）)(arctan112xddxx??（8）)(arcsin112xddxx??在具體問題中，湊微分要根據(jù)被積函數(shù)的形式特點(diǎn)靈活運(yùn)用，例如求在具體問題中，湊微分要根據(jù)被積函數(shù)的形式特點(diǎn)靈活運(yùn)用，例如求??dxxxf211)(arcta

9、n時(shí)，應(yīng)將時(shí)，應(yīng)將湊成湊成；求；求dxxdx21?xdarctxxxarcf??211)cot(時(shí)，應(yīng)將時(shí)，應(yīng)將湊成湊成；而求；而求時(shí)，時(shí)，就不能照搬上述兩種湊法，應(yīng)將就不能照搬上述兩種湊法，應(yīng)將dxx211?xdarccot?dxxx??212211x?湊成湊成，即，即。xdx22dx)1(222xddxxdx???（2）第二換元法積分法：令）第二換元法積分法：令，常用于被積函數(shù)含，常用于被積函數(shù)含或等形式。等形式。)(tx??22x

10、a?22ax?常見的元理函數(shù)積分所采用的換元式如表常見的元理函數(shù)積分所采用的換元式如表51所示：所示：表51代換名稱代換名稱被積函數(shù)含有被積函數(shù)含有換元式換元式三角代換22xa?22xa?22ax?)22(sin?????ttax)22(tan?????ttax)20(sec???ttax無理代換nbax?nx12111)()(nnbaxbax??即tbaxn??)(1btaxn??即1tx?tx1?為的最小公倍數(shù)的最小公倍數(shù))(bax