定積分和不定積分

1、定積分與不定積分輔導學習要求：學習要求：1正確理解定積分的概念，掌握定積分的性質，能熟練地應用牛頓萊布尼茨公式計算定積分，掌握定積分在幾何上的應用2了解原函數(shù)與不定積分概念3掌握直接積分法4了解微分方程的有關概念內容：1定積分的概念2定積分的性質3牛頓萊布尼茨公式4定積分的計算5定積分在幾何上的應用6不定積分7不定積分基本積分公式8不定積分計算9可分離變量的微分方程內容指導：內容指導：一元函數(shù)積分學中的另一個基本問題——定積分問題。不定

2、積分作為導數(shù)（或微分）的逆運算引入，而定積分概念是由實際需要，特別是幾何、物理上的需要，而引進的。教材從計算曲線梯形的面積入手，引進了定積分概念。正確理解定積分概念是本章的重點之一。另外兩個重點是：計算定積分與在幾何上的應用。對于不定積分，重點是掌握不定積分的計算方法，特別是湊積分法。1定積分的概念定積分的概念要正確理解定積分的概念，需要把握下列諸方面：（1）正確理解定積分的定義。定積分的定義，實質上是告訴我們一種解決問題的思想方法。它

3、主要用于對區(qū)間，上某一量的a[]b計算。例如，底為區(qū)間，、高為的曲邊梯形面積的計算；作變速直線運動的物體，在某a[]b)(xfy?一時間區(qū)間，上路程的計算等等。定義采用：分割、代替、作和式與求極限四步，把要算的量歸結a[]b為和式的極限：iniixxfi????)(lim0?當該極限存在時，就稱此極限值為函數(shù)在區(qū)間，上的定積分，記作，即)(xfa[]b?badxxf)(=?badxxf)(iniixxfi????)(lim0?應當指出：

4、分割是任意的，即極限值不依賴于分割的方式；代替是指，小區(qū)間上任意一點][1iixx?處的代替變動的，即“不變代變”；作和式是將有限項累加起來，它可作為所求量i?)(if?)(xf)(if?ix?的近似值，且分割越細，其精確度越高；求極限，就是當每個子區(qū)間的長（此時，必有）ix?0???n時，和式的極限值即為所計算量的精確值。另外，關于定積分定義，還有如下補充說明：設是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的一個原函數(shù)，則)(xF)(xf=?badx

5、xf)(?)(bF)(aF這就是著名的牛頓萊布尼茨公式，也叫做微積分基本公式。有了它，定積分的計算問題就轉化為求不定積分的問題，從而提供了計算定積分的一種簡便方法。應當注意，公式適用的條件是被積函數(shù)連續(xù)，但當被積函數(shù)分段連續(xù)時，可用定積分的性質把積分區(qū)間分成若干個子區(qū)間來計算。4定積分的計算定積分的計算由牛頓萊布尼茨公式可以把定積分計算歸結為不定積分的計算，但定積分計算時，還需注意下列三個方面。（1）定積分的上、下限隨積分變量的更換而更

6、新。（2）奇、偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的積分，偶函數(shù)有???aaadxxfdxxf0)(2)(奇函數(shù)有0)(??aadxxf5定積分在幾何上的應用定積分在幾何上的應用6不定積分的概念不定積分的概念（1）原函數(shù)與不定積分定義設是定義在區(qū)間上的已知函數(shù)，如果存在函數(shù)是，使得在區(qū)間上的任何一點)(xfI)(xFI處都有x或)()(xfxF?dxxfxdF)()(?則稱是函數(shù)在區(qū)間上的一個原函數(shù)。)(xF)(xfI這里，我們指出：如果函數(shù)在

7、區(qū)間上連續(xù)，則在上必有原函數(shù)，即連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)。II定義若是函數(shù)在區(qū)間上的一個原函數(shù)，則稱的全部原函數(shù)C（C為任意)(xF)(xfI)(xf)(xF常數(shù)）為的不定積分，記作)(xf?dxxf)(即=C?dxxf)()(xF其中“”是積分號，叫做被積函數(shù)，叫做被積式，叫做積分變量，C叫做積分常數(shù)。?)(xf)(xfdxx不定積分也簡稱為積分，求不定積分的運算和方法分別稱為積分運算和積分法。由原函數(shù)與不定積分的定義可以看出，微分（或導數(shù)