不定積分的概念

1、《高等數(shù)學(xué)課程》教案第一節(jié)不定積分的概念第一節(jié)不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念上一章我們學(xué)習(xí)了求已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，在許多實(shí)際問(wèn)題中我們經(jīng)常要進(jìn)行求導(dǎo)的逆運(yùn)算，也就是求一個(gè)未知的函數(shù)，使其導(dǎo)函數(shù)恰好是某一個(gè)已知的函數(shù).首先看下面的例子例1已知曲線過(guò)原點(diǎn)，且曲線上各點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的二倍，求曲線的方程.解設(shè)曲線方程為為曲線上的任意點(diǎn)，則曲線在該點(diǎn)的切線的斜()yfx?()Mxy率為，由題意得：y

2、?2yx??同時(shí)要求的是過(guò)原點(diǎn)的曲線，即時(shí)，0x?0y?我們不難求出所求的曲線方程為2yx?我們把這種求導(dǎo)運(yùn)算的逆運(yùn)算稱為求原函數(shù).定義定義1如果在區(qū)間如果在區(qū)間上，可導(dǎo)函數(shù)上，可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)為，即，即I()Fx()fx或()()Fxfx??d()()d()FxfxxxI??則為在區(qū)間在區(qū)間上的原函數(shù)上的原函數(shù).()Fx()fxI如，所以是函數(shù)的一個(gè)原函數(shù).顯然也是的一個(gè)原函數(shù).2(1)2xx???21x?2x2x2x這說(shuō)明

3、原函數(shù)不是唯一的.關(guān)于原函數(shù)，我們還要說(shuō)明兩點(diǎn)：（1）如果如果在某區(qū)間連續(xù)，那么它的原函數(shù)一定存在在某區(qū)間連續(xù)，那么它的原函數(shù)一定存在.()fx（2）若存在原函數(shù)，就不是唯一的存在原函數(shù)，就不是唯一的.由于常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0，故對(duì)任意的常數(shù)()fx，也是的原函數(shù)，亦即若有一個(gè)原函數(shù)，則必有無(wú)窮C()FxC?()fx()fx()Fx()fx多個(gè)原函數(shù)，且易知是的全體原函數(shù)集合，其中是任意常數(shù).()FxC?()fxC對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，我們用一個(gè)

4、新的概念——不定積分來(lái)表示該問(wèn)題，即有下面的定義.定義定義2函數(shù)函數(shù)的全體原函數(shù)集合叫做的全體原函數(shù)集合叫做的不定積分，記為的不定積分，記為，即，即()fx()fx()dfxx?，()d()fxxFxC???其中，其中，稱為積分號(hào)，稱為積分號(hào)，稱為積分函數(shù)，稱為積分函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，而稱為被積表達(dá)式，而稱為積分變稱為積分變?()fx()dfxxx量.（5）（6）dlnxxaaxCa???cosdsinxxxC???（7）（8）sin

5、dcosxxxC????2secdtanxxxC???（9）（10）2cscdcotxxxC????sectandsecxxxxC???（11）（12）csccotdcscxxxxC????21darctan1xxCx????（13）21darcsin1xxCx????以上公式是以后求積分的基礎(chǔ)，請(qǐng)讀者最好熟記.2不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1.1.被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可提到積分號(hào)外.即（k是常數(shù)，）()d()dkfxxk

6、fxx???0k?性質(zhì)性質(zhì)2.2.兩個(gè)函數(shù)和的積分，等于各函數(shù)積分的和.即??()()d()d()dfxgxxfxxgxx??????本性質(zhì)對(duì)有限多個(gè)函數(shù)也是成立的，它表明：和函數(shù)可逐項(xiàng)積分.例2求不定積分：（1）；（2）.21dxx?dxxx?解（1）212211dd21xxxxCCxx?????????????（2）35222dd5xxxxxxC?????例3（1）（2）3(21)dxxex???2tandxx?（3）（4）2sin