不定積分的概念

1、《高等數學課程》教案第一節(jié)不定積分的概念第一節(jié)不定積分的概念一、原函數與不定積分的概念一、原函數與不定積分的概念上一章我們學習了求已知函數的導函數，在許多實際問題中我們經常要進行求導的逆運算，也就是求一個未知的函數，使其導函數恰好是某一個已知的函數.首先看下面的例子例1已知曲線過原點，且曲線上各點處的切線斜率等于該點橫坐標的二倍，求曲線的方程.解設曲線方程為為曲線上的任意點，則曲線在該點的切線的斜()yfx?()Mxy率為，由題意得：y

2、?2yx??同時要求的是過原點的曲線，即時，0x?0y?我們不難求出所求的曲線方程為2yx?我們把這種求導運算的逆運算稱為求原函數.定義定義1如果在區(qū)間如果在區(qū)間上，可導函數上，可導函數的導函數為的導函數為，即，即I()Fx()fx或()()Fxfx??d()()d()FxfxxxI??則為在區(qū)間在區(qū)間上的原函數上的原函數.()Fx()fxI如，所以是函數的一個原函數.顯然也是的一個原函數.2(1)2xx???21x?2x2x2x這說明

3、原函數不是唯一的.關于原函數，我們還要說明兩點：（1）如果如果在某區(qū)間連續(xù)，那么它的原函數一定存在在某區(qū)間連續(xù)，那么它的原函數一定存在.()fx（2）若存在原函數，就不是唯一的存在原函數，就不是唯一的.由于常數的導數等于0，故對任意的常數()fx，也是的原函數，亦即若有一個原函數，則必有無窮C()FxC?()fx()fx()Fx()fx多個原函數，且易知是的全體原函數集合，其中是任意常數.()FxC?()fxC對于第二個問題，我們用一個

4、新的概念——不定積分來表示該問題，即有下面的定義.定義定義2函數函數的全體原函數集合叫做的全體原函數集合叫做的不定積分，記為的不定積分，記為，即，即()fx()fx()dfxx?，()d()fxxFxC???其中，其中，稱為積分號，稱為積分號，稱為積分函數，稱為積分函數，稱為被積表達式，而稱為被積表達式，而稱為積分變稱為積分變?()fx()dfxxx量.（5）（6）dlnxxaaxCa???cosdsinxxxC???（7）（8）sin

5、dcosxxxC????2secdtanxxxC???（9）（10）2cscdcotxxxC????sectandsecxxxxC???（11）（12）csccotdcscxxxxC????21darctan1xxCx????（13）21darcsin1xxCx????以上公式是以后求積分的基礎，請讀者最好熟記.2不定積分的性質不定積分的性質性質性質1.1.被積函數中不為零的常數因子可提到積分號外.即（k是常數，）()d()dkfxxk

6、fxx???0k?性質性質2.2.兩個函數和的積分，等于各函數積分的和.即??()()d()d()dfxgxxfxxgxx??????本性質對有限多個函數也是成立的，它表明：和函數可逐項積分.例2求不定積分：（1）；（2）.21dxx?dxxx?解（1）212211dd21xxxxCCxx?????????????（2）35222dd5xxxxxxC?????例3（1）（2）3(21)dxxex???2tandxx?（3）（4）2sin