基本不定積分表

1、<p><b>　　基本不定積分表</b></p><p><b>　　序言：</b></p><p>　　微積分創(chuàng)立之初，牛頓與萊布尼茨分享榮譽(yù)。雖其間發(fā)生很多在優(yōu)先權(quán)上的爭(zhēng)論，但最終依然走向了發(fā)展之正軌。在微積分公式體系上，萊布尼茨對(duì)之要求甚嚴(yán)，并總結(jié)其基本微分表和基本積分表。如今隨微積分之發(fā)展，公式表逐漸全面，分類亦幾乎覆蓋各種不

2、定積分。積分表的編訂對(duì)于積分運(yùn)算可以說(shuō)是必要，亦是數(shù)學(xué)發(fā)展之必要結(jié)果。</p><p>　　本表給出常用不定積分的計(jì)算公式和運(yùn)算方法，以及每個(gè)積分的簡(jiǎn)要推演方法，其中引入了除一般之換元法，湊微分法，分部積分法之外，亦引入虛數(shù)單位，并使用虛數(shù)單位推演某些復(fù)雜的不定積分運(yùn)算。而對(duì)于簡(jiǎn)單的不定積分運(yùn)算和基本的微分公式之反用，或均不在此給出推演方法，或僅以推演步驟簡(jiǎn)要之說(shuō)明。</p><p>　　

3、本表收錄公式16組，151式。</p><p>　　公式一 基本初等函數(shù)的不定積分18式：</p><p><b>　　冪函數(shù)</b></p><p><b>　　指數(shù)函數(shù)</b></p><p><b>　　對(duì)數(shù)函數(shù)</b></p><p><b

4、>　　三角函數(shù)</b></p><p><b>　　反三角函數(shù)</b></p><p><b>　　常數(shù)函數(shù)</b></p><p>　　上述公式均為基本初等函數(shù)之不定積分，其中部分公式均可以由分部積分公式給出，特別的，對(duì)于正切函數(shù)，余切函數(shù)，正割函數(shù)與余割函數(shù)的不定積分，使用了諸多三角變換完成。<

5、/p><p>　　公式二 含的積分（要指出非零）10式：</p><p>　　對(duì)于其中的第二式，是利用換元積分完成的。</p><p>　　對(duì)于第一者，可以利用湊的方式，我們考慮分式，則得其積分是顯的：。而第二式依然采取類似的方式，可借由帶余多項(xiàng)式除法算得：，然后利用第一個(gè)積分式即可得到結(jié)論。</p><p>　　對(duì)于分母是二次多項(xiàng)式或者更高者，

6、常常分成多個(gè)低次多項(xiàng)式之和，這兩個(gè)積分便是沿用了此結(jié)論所得到的。我們注意第一式中有，積分即得。對(duì)于第二式依然可用分離拆項(xiàng)的方式： ，然后積分即可，而一般對(duì)于拆項(xiàng)，常用待定系數(shù)的方法完成。</p><p>　　公式三 含的積分9式</p><p>　　第一式的證明用湊微分的方式即可完成。而有了第一式的結(jié)論，第二式可用分部積分完成計(jì)算。我們有：</p><p>　　其中

7、，對(duì)上式右側(cè)的再次使用湊微分的方法，即可得解：</p><p>　　同理利用分部積分可以將第三式拆開(kāi)，并以第二式證明之。</p><p>　　利用湊微分的方式，我們顯然有不定積分，本組公式可以考慮用此公式，并使用分部積分即可證明一式：</p><p>　　二式同理使用分部積分，并利用一式的結(jié)論即可證明。</p><p>　　該公式是重要的不定

8、積分之一，它可以解決一類帶有的不定積分等式。但是該積分是不好計(jì)算的，首先分部積分就不容易得出結(jié)果，而另一方面我們也無(wú)法進(jìn)行一個(gè)顯然的湊微分，因此對(duì)于這一類帶有根號(hào)式的積分，往往是先強(qiáng)行換掉根號(hào)，再作觀察。因此令，于是，顯然看到的是這個(gè)不定積分的結(jié)果需要討論的正負(fù)來(lái)決定之后使用的不定積分公式：如果是負(fù)的，那么顯然會(huì)使用反三角，如果是正的，則可能使用三角換元：</p><p>　　然后將帶入上式得原積分。另外對(duì)于負(fù)的

9、，有：</p><p>　　即原積分。該不定積分公式對(duì)于負(fù)數(shù)的計(jì)算是很容易的。</p><p>　　注意到微分公式，故上面公式均可以分部積分公式指出。</p><p>　　公式四 含有的積分3式</p><p>　　一式用湊微分的方式以及微分公式容易得出。第二式是利用分部積分公式給出的遞推式的形式：通過(guò)這個(gè)遞推關(guān)系逐步下降分母的冪直到一式的情

10、形，然后帶入一式即可得解。三式是有理分式的不定積分，通常是將之拆分為兩個(gè)容易計(jì)算的分式，則不難得出結(jié)果：</p><p>　　公式五 含有的積分7式</p><p>　　除開(kāi)顯然的不列為公式表所用之公式外，其余均與有關(guān)，不過(guò)在下面公式的推理中，我們可以肯定的是推理可能是不唯一的，因此某些推理也是可能涉及了該公式的。</p><p>　　是一個(gè)需要分類討論的積分。顯然

11、的可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)被積函數(shù)的形式與反正切是有關(guān)的，不過(guò)反正切的分母是加法運(yùn)算，因此如果這里是負(fù)的，那么就不能適用反正切，這導(dǎo)致了積分需要分類討論之。</p><p>　　該公式的證明中再一次的遇到了形式的不定積分，雖然這里我采用的是換元為三角函數(shù)的方法，而并非使用公式四中利用有理函數(shù)積分的性質(zhì)來(lái)推理，但是三角換元計(jì)算不定積分是值得深入探討和學(xué)習(xí)的計(jì)算方法，也許在這個(gè)公式中體現(xiàn)不出來(lái)，但是在某些場(chǎng)合下，三角換元無(wú)疑是強(qiáng)

12、大的。</p><p>　　一式是顯然的。在這組公式中，除了一式之外，后者在各種場(chǎng)合的運(yùn)用還是相對(duì)頻繁的。二式、三式都是典型的有理函數(shù)的不定積分問(wèn)題，可以采取分離常數(shù)的方法來(lái)求解，其推理及其陳述如下：</p><p>　　類似的對(duì)于之后的不定積分，依然可以拆項(xiàng)：</p><p>　　但是對(duì)于最后一式，拆項(xiàng)顯然是不理想的，分子也不具備變量以進(jìn)行湊微分，因此從分母考慮：

13、</p><p>　　接著帶入公式（45）即得所證。</p><p>　　公式六 含有的積分2式</p><p>　　先給出最基本的積分：</p><p>　　該積分的證明需要分情形處理。一般來(lái)說(shuō)，如果分母的二次式對(duì)應(yīng)的二次方程是有根的，那么其不定積分可以考慮因式分解的方式拆分成兩個(gè)分式之和，而對(duì)于無(wú)實(shí)數(shù)解的情形，可以考慮配方的方式，并利用反

14、三角函數(shù)的微分公式得到該不定積分的證明，不過(guò)在此我將使用另一種方式證明上述公式，我將在此引入虛數(shù)單位，并規(guī)定：</p><p>　　這里的為的兩根，則：</p><p>　　如果，那么，則積分式即為</p><p>　　否則為，則積分變?yōu)椋?lt;/p><p>　　這里值得注意的是輻角的取值問(wèn)題，我們選擇這個(gè)區(qū)間并考慮反正切表示，則這時(shí)候輻角中所

15、給之復(fù)數(shù)必須保證實(shí)部恒正或恒負(fù)，但由判別式依然無(wú)法斷言之正負(fù)，這對(duì)反正切的表示是不利的，因此考慮對(duì)輻角進(jìn)一步轉(zhuǎn)化，一個(gè)方便的方法是對(duì)分式上下乘以1個(gè)虛數(shù)單位，則：</p><p>　　將該式與帶入不定積分式，得：</p><p>　　雖然此方法比較復(fù)雜，但是可以說(shuō)明的是，以復(fù)數(shù)進(jìn)行實(shí)數(shù)的不定積分是可能的。</p><p>　　以拆項(xiàng)的方式來(lái)拆分為兩個(gè)不定積分，這是及

16、其顯然的：</p><p>　　公式七 含有的積分14式</p><p>　　含的不定積分，通常會(huì)考慮的變換是，特別是出現(xiàn)在分母中的根式，這樣做的好處不但可以抵消根式，同時(shí)可以處理并約分掉分母中的積分變量，以大幅度化簡(jiǎn)積分運(yùn)算。不過(guò)在很多時(shí)候，我們也常?？紤]雙曲換元來(lái)完成，這是因?yàn)閷?duì)于正切與正割之間的關(guān)系式運(yùn)算在某些時(shí)候沒(méi)有雙曲函數(shù)簡(jiǎn)便。下面幾個(gè)公式都是可以通過(guò)換元得到的：</p&g

17、t;<p>　　第一式是典型的反雙曲三角函數(shù)的微分，以及反雙曲三角函數(shù)的定義式所得，事實(shí)上，我們?cè)O(shè)，因此對(duì)于第一個(gè)不定積分式，采用湊的方式即刻得之。二式也是典型的雙曲換元得到的等式：</p><p>　　其中，將回帶，即得之所證。</p><p>　　三、四均是由微分公式直接可推論的結(jié)果。然而如果對(duì)于三式?jīng)]有直接觀察到亦不妨以雙曲換元的得出：</p><p

18、>　　于是四式也可如法炮制：</p><p>　　五式、六式可以湊得之：，，再以分部積分得：</p><p>　　這樣就完成了五式和六式。</p><p>　　一式三角換元是顯然的。但值得注意的是雙曲正弦與對(duì)數(shù)之間的關(guān)系是：</p><p>　　二式以雙曲換元得到積分，以降冪進(jìn)行變形，所得積分的計(jì)算是容易的：</p>&l

19、t;p>　　在得出結(jié)果之后，再以（二）倍角公式將和還原為即得二式右側(cè)。</p><p>　　三式湊的方式即得其之所證。</p><p>　　四式以分部積分，并二式，即得之所證。</p><p>　　先以換元的方式將一式轉(zhuǎn)化為三角積分或者雙曲積分。轉(zhuǎn)化三角積分時(shí)，以正切與正割的恒等式可得，轉(zhuǎn)化雙曲積時(shí)，以雙曲正弦或雙曲余弦的恒等式可得，最后以余割或雙曲余割的積分

20、得到結(jié)果。</p><p>　　二式典型的轉(zhuǎn)化為三角積分，這是典型的余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。</p><p>　　注意到，帶入一式。又注意到，帶入（50）式。</p><p>　　公式八 含的積分6式</p><p>　　利用最值公式對(duì)分母配方，得：</p><p>　　首配方，再湊微分，并公式（56），得：</p&

21、gt;<p>　　這里的推理雖然是相對(duì)復(fù)雜的，但是對(duì)于一些好算的數(shù)值計(jì)算，這個(gè)推理過(guò)程會(huì)得到大大的簡(jiǎn)化。在這兩個(gè)積分的基礎(chǔ)上，下面的積分相對(duì)是容易計(jì)算的：</p><p>　　用湊微分的方式進(jìn)行變換：</p><p>　　剩下的計(jì)算是容易的。</p><p>　　依然是配方，與（64）不同的是，根號(hào)下的加號(hào)變成了減號(hào)，從而適用反三角的表示。</p

22、><p>　　依然是配方，與（65）不同的是，根號(hào)下的加號(hào)變成了減號(hào)，從而適用反三角的表示。</p><p>　　用湊微分的方式進(jìn)行變換，其方法同于（66）。</p><p>　　在（64）（67），（65）（68）和（66）（69）的比較中我們可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意非零的實(shí)數(shù)，除了后面的對(duì)數(shù)部分外，其表示形式都是一樣的，例如我們以（64）（67）為例，將兩個(gè)公式和在一起寫(xiě)

23、，并把對(duì)數(shù)部分寫(xiě)成對(duì)應(yīng)的反三角形式的不定積分之后，則可以寫(xiě)成：</p><p>　　其相似度可見(jiàn)一斑，那么我們將會(huì)詢問(wèn)這是為何。這里我將再度引入虛數(shù)單位，并規(guī)定其滿足，借助歐拉公式和雙曲三角函數(shù)的定義，我們考察正弦函數(shù)得到的是這樣一個(gè)結(jié)果：，令之為并反解之，得的同時(shí)，也得到了另一個(gè)結(jié)果：，也就是說(shuō)得到一個(gè)轉(zhuǎn)化等式，這個(gè)結(jié)果是令人感到驚奇的，如果在上述積分中我們無(wú)視為正數(shù)之情形，并對(duì)負(fù)的直接使用反雙曲的結(jié)果，同時(shí)引

24、入虛數(shù)單位，根據(jù)負(fù)數(shù)的平方根等于其絕對(duì)值開(kāi)根后與虛數(shù)單位作乘積這一規(guī)定，即得：</p><p>　　這與直接使用反正弦的結(jié)果是一樣的。這個(gè)結(jié)果表明，（64）（67），（65）（68）和（66）（69）是可以統(tǒng)一的。</p><p>　　公式九 含的不定積分14式</p><p>　　公式組七給出了型的不定積分，此處繼公式七之討論，以及公式七和公式九的推演思想，給出根

25、號(hào)下取負(fù)號(hào)的不定積分。</p><p>　　在（50）~（55）六式中，引入虛數(shù)單位，并替換即可證明上面六式的正確性。不過(guò)對(duì)于（70）式要注意取值的正負(fù)直接令雙曲正弦通過(guò)雙曲恒等式轉(zhuǎn)化成了雙曲余弦函數(shù)。</p><p><b>　　在中取替換得：</b></p><p>　　在（56）~（59）四式中，引入虛數(shù)單位，并替換即可證明上面四式的正確

26、性。</p><p>　　在（60）~（63）四式中，引入虛數(shù)單位，并替換即可證明上面四式的正確性。其中對(duì)于較為特殊的（80）和（83）中，我們注意以虛數(shù)單位替換之后，原本的對(duì)數(shù)表達(dá)式變?yōu)榱烁綆摂?shù)單位的表達(dá)式：</p><p><b>　　于是：</b></p><p>　　公式十 含的不定積分14式</p><p>

27、　?。?4）（86）（87）均以湊的方式即可證明，其中（84）利用了反正弦函數(shù)的微分公式，（86）（87）實(shí)際上就是冪函數(shù)的復(fù)合所得，因此可以考慮湊出根式內(nèi)的微分，然后以冪函數(shù)的積分公式計(jì)算最終結(jié)果。</p><p>　　（85）以三角換元完成計(jì)算：</p><p>　　對(duì)（88）（89）各自使用分部積分即可完成演算：</p><p>　　將上式所得最后的第三項(xiàng)分式

28、進(jìn)行處理，將其中一個(gè)乘進(jìn)根式里，再與第一項(xiàng)合并即可。（89）式在處理的思想上是與之一致的，考慮分部積分，然后利用三角換元或者之前已經(jīng)給出的不定積分式處理：</p><p>　　顯然使用三角換元是容易的：</p><p>　?。?2）式的證明與（56）式的推理類似，雖然我在前面指出（56）式的思路使用三角換元是顯然的，但是真正處理起是來(lái)略微不便的：</p><p>　

29、　因此如果我們?cè)谝呀?jīng)建立了積分公式的情形下，承認(rèn)并使用這個(gè)積分公式來(lái)推導(dǎo)（92）式會(huì)比單獨(dú)在證明（92）容易得多：在上述實(shí)數(shù)積分中引入虛數(shù)單位并承認(rèn)，則令自變量以替換之，則可立刻得：</p><p>　　這樣就完全可將（92）式與（56）式統(tǒng)一為同一公式。而同理的，可以在（57）（58）（59）中均引入虛數(shù)單位，則（93）（94）（95）的證明可以大幅度化簡(jiǎn)：</p><p>　　在關(guān)于的

30、積分中指出，即公式（62）和公式（63），同上之所證，利用虛數(shù)及公式（62）（63）可證明（96）（97）：</p><p>　　公式十一 含，，的積分4式：</p><p><b>　　由分部積分公式得：</b></p><p><b>　　其中： </b></p><p>　　帶回上式得即為（9

31、8）式之所證。</p><p>　?。?8）式的給出，亦可使用還原的方式證明，考慮到不定積分本身具有根號(hào)，其干擾運(yùn)算性太強(qiáng)，考慮強(qiáng)行抹消根號(hào)，于是令：</p><p>　　對(duì)于上式第二項(xiàng)中積分，可令，則得到，然后以三角函數(shù)處理，得：</p><p>　　接著是計(jì)算式中的諸三角函數(shù)，可利用三角恒等式，如果限定了為銳角，亦可借助直角三角形，我在此選擇后者：</p&

32、gt;<p><b>　　最后把帶回，即得：</b></p><p>　　同理對(duì)于（99）式換元之后，亦可解之，但鑒于計(jì)算復(fù)雜，這里不用換元的方法，我依然采用分部積分的方式：</p><p><b>　　其中：</b></p><p><b>　　帶回則完成證明。</b></p&g

33、t;<p>　　根據(jù)反三角的計(jì)算公式，考慮到根式恒正，因此上式中的反三角亦可寫(xiě)作：</p><p>　　因此寫(xiě)作亦是正確的。亦可通過(guò)公式（67）來(lái)計(jì)算，得到：</p><p>　　通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的驗(yàn)證即可知上面的三種結(jié)果都是正確的：</p><p>　　換言之，我們得到具有三個(gè)我們可能會(huì)計(jì)算出的原函數(shù)：</p><p><b

34、>　　，以及</b></p><p>　　當(dāng)我們得到該結(jié)論之后，對(duì)于第（100）式的證明方法就很多了，最簡(jiǎn)單的就是通過(guò)已建立的公式（68）來(lái)完成</p><p>　　對(duì)于不定積分公式（100），其推理在（99）之中已經(jīng)給出。</p><p>　　由公式（68）：，得：</p><p>　　上式所給出三個(gè)不定積分的形式，均是正

35、確的。</p><p>　　公式十二 含三角函數(shù)的不定積分23式</p><p>　　除了基本初等三角函數(shù)之外，本組公式總結(jié)更為復(fù)雜的三角積分，其中包含了遞推關(guān)系，湊微分以及分部積分等方法來(lái)完成其推理。</p><p>　?。?02），（103）以降冪公式變形，再以基本初等函數(shù)的積分直接積分得到。（104）~（105）實(shí)質(zhì)上就是導(dǎo)數(shù)公式的逆，因此我們?nèi)绻C明，只需

36、以導(dǎo)數(shù)公式指出即可：</p><p>　　先以湊微分對(duì)積分變量進(jìn)行替換，緊接著以分部積分對(duì)之變形，當(dāng)?shù)仁阶笥覂蓚?cè)都出現(xiàn)相同的項(xiàng)時(shí)，通過(guò)移項(xiàng)的方式得到不定積分（108）的遞推關(guān)系。（109）與之同理。</p><p>　　依然可以考慮用同樣的步驟完成（110）和（111）式，這是因?yàn)檎詈瘮?shù)、余割函數(shù)與正切函數(shù)、余切函數(shù)都有恒等式的關(guān)系，因此與其使用弦函數(shù)來(lái)完成不定積分的運(yùn)算，不如使用割函數(shù)

37、更為明了。</p><p>　　對(duì)于正切函數(shù)、余切函數(shù)高次冪的不定積分，鑒于一次切函數(shù)的不定積分需要對(duì)數(shù)表達(dá)式，二次切函數(shù)會(huì)單出一個(gè)積分變量，導(dǎo)致積分是困難的，不過(guò)下面等式給出了切函數(shù)積分的一種算法，其中它們的冪都是取整數(shù)的：</p><p>　　上面證明的分部積分是對(duì)正弦湊微分得到的，如果對(duì)余弦湊微分，則同理可得到</p><p>　　以積化和差公式是容易證明的。

38、</p><p>　　典型的采用萬(wàn)能變換，轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的不定積分問(wèn)題。因此我們很自然的會(huì)采取換元：，于是由萬(wàn)能變換公式，得，于是所求的不定積分（117）即為，這是典型的二次真分式的有理函數(shù)積分的問(wèn)題，通過(guò)考慮判定式是否為正來(lái)討論對(duì)應(yīng)之二次方程是否有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，以方便拆分，如果沒(méi)有實(shí)數(shù)根則配方，并利用反三角表示，否則就拆為兩個(gè)分式之和或者差，以對(duì)數(shù)的形式表示。</p><p>　　此外，借

39、助已建立的公式（48）：</p><p>　　亦可給出證明，且我們說(shuō)過(guò)公式（48）指出判別式在為負(fù)數(shù)的情形下，借助虛數(shù)可以證明上下兩個(gè)不定積分是等價(jià)的，因此我們對(duì)于（117）之證明實(shí)際上也只需指出一個(gè)成立即可。</p><p><b>　?。?18）同理。</b></p><p><b>　　證明是容易的。</b><

40、/p><p>　　在現(xiàn)行的積分公式表中，（117）和（118）兩式是被分成四個(gè)公式來(lái)處理的，考慮到三角函數(shù)與對(duì)數(shù)具有統(tǒng)一性，故在此將之合并為兩式。</p><p>　　由降冪公式得，再由萬(wàn)能代換得，令，則：</p><p>　　從（117）至（120），可見(jiàn)萬(wàn)能代換公式是很方便的一個(gè)公式，它將所有三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為有理分式成為了可能，然后借助有理函數(shù)的不定積分來(lái)完成積分運(yùn)算

41、。從這一點(diǎn)看，萬(wàn)能代換公式無(wú)疑是很強(qiáng)大的。</p><p><b>　　分部積分得：</b></p><p>　　同理可證（122）。當(dāng)然考慮萬(wàn)能代換也是可能的，不過(guò)要注意的是萬(wàn)能代換對(duì)于公式（121）和（122）來(lái)說(shuō)，比較繁雜。而公式（123）和（124）的推理思路與（121）和（122）相同，依然是通過(guò)分部積分完成推理，不過(guò)注意的是，可以使用（121）和（122）

42、已經(jīng)建立的結(jié)論。</p><p>　　公式十三 含反三角函數(shù)的積分9式</p><p>　　以上為弦函數(shù)的反函數(shù)之不定積分，其中（125）和（128）很容易就通過(guò)分部積分公式的得到：，（128）式與之同理。下面推導(dǎo)（126）和（127），對(duì)于（129）和（130）是可以類比的：</p><p>　　對(duì)于（127），注意到使用換元之后，積分運(yùn)算下的被積函數(shù)變?yōu)檎液瘮?shù)

43、的平方和余弦函數(shù)之乘積，它自身是正弦三次方的微分，因此可以考慮分部積分公式，也就是，最后對(duì)于正弦三次方的不定積分，可以采用湊微分的方式，先湊出余弦函數(shù)的微分，然后對(duì)剩下的正弦二次方以恒等式換作余弦函數(shù)，最后以冪函數(shù)的不定積分一舉收官，完成推理：</p><p>　　另一方面，我們?cè)诮⒘耍?25），（126），（127）之后，用反三角恒等式直接將反正弦化作反余弦，不定積分的計(jì)算也是可行的：</p>

44、<p>　　且如此計(jì)算比重新建立更為方便和簡(jiǎn)潔。</p><p>　　對(duì)于（130）以分部積分完成，（131）與（132）令即可得出結(jié)論。</p><p>　　公式十四 含指數(shù)函數(shù)的積分9式</p><p>　　以基本不定積分公式所建立起來(lái)的不定積分組，并對(duì)之進(jìn)一步拓展。</p><p><b>　　這是顯然的。</

45、b></p><p>　　均以分部積分即可。但是某些時(shí)候我們所關(guān)心的并非這些積分之本身，而是關(guān)心這樣一個(gè)特殊的關(guān)于的函數(shù)，顯然可以看到當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，函數(shù)表示的是的階導(dǎo)函數(shù)，而如果為負(fù)整數(shù)，則表示的是函數(shù)的重不定積分——這樣的函數(shù)是關(guān)于求導(dǎo)次數(shù)的函數(shù)，我們把求導(dǎo)次數(shù)作連續(xù)延拓得到了一個(gè)對(duì)于一切實(shí)數(shù)展開(kāi)的新的連續(xù)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)在微積分里被稱作函數(shù)的次導(dǎo)函數(shù)，該函數(shù)直接反應(yīng)出了函數(shù)的非整數(shù)階導(dǎo)數(shù)。</p&g

46、t;<p>　　以分部積分作推導(dǎo)，不難有下面兩個(gè)等式：</p><p>　　等式組可以看作是關(guān)于的方程組，解之即得。</p><p>　　對(duì)于（140）的證明，如下：</p><p><b>　　移項(xiàng)并整理，得</b></p><p><b>　　將④帶入③，得</b></p&g

47、t;<p><b>　　⑤帶入②，得</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　移項(xiàng)并整理：</b></p><p>　　（141）的證明與之類似。</p><p>　　公式十五 含對(duì)數(shù)函數(shù)的積分4式</p>&l

48、t;p>　　以基本不定積分展開(kāi)的積分公式組。</p><p>　?。?42）湊微分。（143）分部積分可直接推得，而（144）也是分部積分，但是我們依然優(yōu)先給出遞推關(guān)系，然后利用遞推關(guān)系進(jìn)一步推得結(jié)果。由于對(duì)數(shù)函數(shù)的遞推結(jié)果相對(duì)較簡(jiǎn)單，因此可以寫(xiě)成和的形式。而（145）的推導(dǎo)比（144）相對(duì)更為簡(jiǎn)單，因此這里先給出（145）：</p><p>　?。?45）的積分結(jié)果是簡(jiǎn)單的?？梢钥?/p>

49、到，當(dāng)這個(gè)積分我們不斷進(jìn)行下去的時(shí)候，對(duì)數(shù)函數(shù)的冪會(huì)逐次下降，知道為零次，積分最終將變?yōu)閮绾瘮?shù)的積分問(wèn)題。</p><p>　　公式十六 雙曲函數(shù)的積分6式</p><p>　　根據(jù)雙曲函數(shù)的定義可直接獲得。</p><p>　　推理同正切函數(shù)和余切函數(shù)，先將雙曲切函數(shù)轉(zhuǎn)為弦函數(shù)，然后以湊微分的方式一舉完成證明。</p><p>　　以雙曲之