高等數(shù)學(xué)第四單元不定積分

1、<p>　　第四單元 不定積分</p><p>　　4-1 不定積分的概念與性質(zhì) 換元積分法</p><p><b>　　[教學(xué)基本要求]</b></p><p>　　高等數(shù)學(xué) 理解原函數(shù)與不定積分的概念、性質(zhì)以及積分與導(dǎo)數(shù)（微分）的關(guān)系。熟記不定積分的基本公式，掌握不定積分的換元積分法和分部積分法。會(huì)求簡(jiǎn)單的有理函數(shù)的積分。

2、</p><p>　　微積分 理解原函數(shù)與不定積分的概念、性質(zhì)以及積分與導(dǎo)數(shù)（微分）的關(guān)系。熟記不定積分的基本公式，掌握不定積分的換元積分法和分部積分法。</p><p><b>　　[知識(shí)要點(diǎn)]</b></p><p>　　原函數(shù)與不定積分的概念</p><p>　　若，則稱是的一個(gè)原函數(shù). 若是的一個(gè)原函數(shù)，則的原

3、函數(shù)的一般表達(dá)式為(為任意常數(shù)). 的原函數(shù)的一般表達(dá)式稱為的不定積分, 記為，即.</p><p>　　注意 ① 不定積分和原函數(shù)是兩個(gè)不同概念，前者是集合，后者是該集合中的一個(gè)元素，因此② 設(shè)均是在區(qū)間中的原函數(shù)，則</p><p><b>　　基本性質(zhì)</b></p><p>　?。?）(是不為零的常數(shù)).</p><

4、p><b>　?。?）或；</b></p><p>　?。?）或（是任意常數(shù)）</p><p><b>　　基本積分公式(略)</b></p><p><b>　　積分方法</b></p><p>　　(1) 分項(xiàng)積分法: (為常數(shù)).</p><p

5、>　　分項(xiàng)積分法的依據(jù)是不定積分的線性性質(zhì)，其作用在于將復(fù)雜函數(shù)的積分轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的函數(shù)的積分.</p><p>　?。?） 第一換元積分法(湊微分法)</p><p><b>　　若, 且連續(xù), 則</b></p><p><b>　　基本思路： </b></p><p>　　常見(jiàn)的12種湊微

6、分形式</p><p>　　（3）第二換元積分法</p><p>　　若連續(xù)，有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，，且</p><p><b>　　，則</b></p><p><b>　　基本思路：</b></p><p>　　第二換元法的要點(diǎn)在于：通過(guò)新變量的引入，使得積分的形式改變（比如去根號(hào)

7、）而易于積分. 常見(jiàn)的變量代換有如下幾種:</p><p>　　(ⅰ)三角函數(shù)代換: 利用三角代換，變根式積分為三角有理式積分.</p><p>　　(ⅱ) 倒代換（）,也是一種很重要的變量代換，利用倒變換?？上ケ环e函數(shù)分母中的變量因子（或），其中為正整數(shù).</p><p>　?。á＃┲笖?shù)代換（令），適用于由冪函數(shù)所構(gòu)成的代數(shù)式.</p><p

8、><b>　　[錯(cuò)題解析]</b></p><p>　　例1、 選擇題 下列命題中不正確的為 ( )</p><p>　　若在區(qū)間內(nèi)的某個(gè)函數(shù)是常數(shù)，則在內(nèi)恒為零；</p><p>　　若的某個(gè)函數(shù)為零，則的所有原函數(shù)都是常數(shù)；</p><p>　　若在內(nèi)不是連續(xù)函數(shù)，則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)必?zé)o原函數(shù)；</p

9、><p>　　若為的任意一個(gè)原函數(shù)，則為在內(nèi)的連續(xù)函數(shù).</p><p><b>　　解 正確答案為</b></p><p>　　分析：對(duì)于命題，如果存在一個(gè)原函數(shù)為常數(shù)，則在內(nèi)任意一點(diǎn)都有 可知命題正確.</p><p>　　對(duì)于命題，若為的一個(gè)原函數(shù)，則（為任意常數(shù)）為的所有原函數(shù)．可知命題正確.</p>

10、<p>　　對(duì)于命題，可先考慮下面的例子： </p><p>　　在內(nèi)不連續(xù)，為其間斷點(diǎn)，但是</p><p>　　則有在內(nèi)每點(diǎn)都成立．因此說(shuō)為在內(nèi)的原函數(shù)．此例表明的說(shuō)法不正確．</p><p>　　若為的原函數(shù)，則由原函數(shù)的定義可知必有．由可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系可知，必為連續(xù)函數(shù)．因此命題正確．</p><p>　　例２、選擇題　下

11、列命題正確的有（　?。?lt;/p><p><b>　　解　正確答案為</b></p><p>　　分析：由不定積分的性質(zhì)，可知：</p><p><b>　　即正確，不正確．</b></p><p>　　表示下對(duì)積分，再對(duì)求導(dǎo)，因此，這表明正確，而不正確．</p><p>　

12、　利用不定積分的基本性質(zhì)與基本積分公式求解不定積分是最基本的求積方法．對(duì)于一些不屬于基本積分公式形式的積分，其求解的思路是：將所給積分經(jīng)過(guò)恒等變形轉(zhuǎn)化為基本積分形式．常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方式有兩類：</p><p>　　利用代數(shù)或三角恒等變形，將被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為幾個(gè)基本積分形式的代數(shù)和．</p><p>　　利用微分運(yùn)算將被積表達(dá)式轉(zhuǎn)化為基本積分公式形式．</p><p>&l

13、t;b>　　[典型例題補(bǔ)充]</b></p><p>　　例1、（１）；　?。ǎ玻?lt;/p><p>　　分析：所給積分不屬于基本積分公式形式，利用代數(shù)恒等變形和三角恒等變形．</p><p><b>　　解：（１）原式＝</b></p><p><b>　?。ǎ玻┰剑?lt;/b>&l

14、t;/p><p>　　例2、求下列不定積分：（1）；　（2）；　（３）</p><p>　　分析： 對(duì)于（1），常見(jiàn)有下列兩種變形：</p><p><b>　　①?。虎凇?lt;/b></p><p>　?。ǎ保┙夥ㄒ?原式</p><p><b>　　解法二 原式</b><

15、;/p><p>　?。ǎ玻┙夥ㄒ弧∫?yàn)?，所以，則有</p><p>　　注：此種解法較簡(jiǎn)便，它是一種常見(jiàn)的積分類型：</p><p>　　解法二 首先把被積函數(shù)進(jìn)行分項(xiàng)，然后利用湊微分法求出．</p><p><b>　　原式</b></p><p>　　解法三　在這里只做一個(gè)提示：</p&g

16、t;<p>　?。ǎ常┙夥ㄒ弧∮捎?，則有</p><p><b>　　原式</b></p><p><b>　　解法二　原式</b></p><p>　　注：這種解法是將公式中的用可微函數(shù)替代，</p><p><b>　　一般地有</b></p>

17、<p>　　例3、（１）；　　　（２）</p><p><b>　　解?。ǎ保┮?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　故，原式＝</b></p><p>　　注意：這里用了兩次湊微分．本題也可由　，而得出</p><p><b>　?。ǎ玻┮?yàn)?lt;/b></p&

18、gt;<p><b>　　所以　原式＝</b></p><p>　　注意：這兩個(gè)題都是將被積函數(shù)的一部分求微分，而得出相應(yīng)的湊微分形式．這類題目有一定難度，不太容易看出，因此，熟記基本積分公式，熟練掌握函數(shù)的微分運(yùn)算是很重要的．</p><p>　　例4、 求下列不定積分：（1）； （2）</p><p><

19、b>　　解：（１）原式</b></p><p><b>　?。ǎ玻┰?lt;/b></p><p>　　注：被積函數(shù)分母中含有三角函數(shù)時(shí)，常提取余弦平方，然后利用</p><p><b>　　或．</b></p><p>　　例5、設(shè)在可導(dǎo)，，，求</p><p&g

20、t;　　[分析] 由不定積分的性質(zhì)可知，因此對(duì)照題設(shè)可知，只需由的表達(dá)式求出即可．</p><p><b>　　解：令得，</b></p><p><b>　　由知，故　</b></p><p><b>　　例6、計(jì)算</b></p><p><b>　　解：，有原式

21、</b></p><p>　　由原函數(shù)的連續(xù)性知，</p><p><b>　　，于是，原式</b></p><p>　　例7、用換元法求下列不定積分</p><p>　?。ǎ保?；　　　?。ǎ玻?lt;/p><p>　　解：（１）為了消去被積函數(shù)中的根號(hào)，令，則</p>&l

22、t;p><b>　?。谑牵?lt;/b></p><p>　?。ǎ玻┙夥ㄒ弧”环e函數(shù)中含有型根式，用三角代換法．</p><p><b>　　令，則，于是可得</b></p><p><b>　　原式</b></p><p>　　為了還原變量，根據(jù)，作直角三角形，得 ，

23、 </p><p>　　于是可得原式 </p><p><b>　　t 3</b></p><p>　　解法二　作變量代換，可令，則有，于是</p><p><b>　　原式</b>

24、</p><p>　　注：用換元積分法求不定積分時(shí)，應(yīng)注意各題中被積函數(shù)的特征，使用相應(yīng)的基本解法，在有多種解法時(shí)，一般而言，用第一換元法（湊微分法）較用第二換元法方便．</p><p><b>　?。壅n堂練習(xí)］</b></p><p><b>　　一、填空題</b></p><p>　?。保?，而

25、，則　　　　　　　　　?。?lt;/p><p>　?。玻　　　　　　　　　　　　。?lt;/p><p>　?。常　　　　　　　　　　　　。?lt;/p><p>　?。矗阎瑒t　　　　　　　　　　　　?。?lt;/p><p>　?。担O(shè)，則　　　　　　　　　?。?lt;/p><p><b>　　二、選擇題</b>

26、</p><p>　?。保瘮?shù)的原函數(shù)有（　　　　）．</p><p>　?。玻?，則（　　　?。?lt;/p><p>　?。常簦?，則（　　　?。?lt;/p><p><b>　　４．（　　　?。?lt;/b></p><p>　?。担?，則（　　　?。?lt;/p><p>&l

27、t;b>　　三、求下列不定積分</b></p><p>　?。保?；　　　　　　　　　?。玻?lt;/p><p>　　３．　　　　　　　　　?。矗?lt;/p><p><b>　?。担O(shè)，求</b></p><p><b>　?。叮O(shè)　，求</b></p><p>

28、　　答案：一、1．；　　　　２．（提示：）；</p><p>　?。常?；　?。矗?；　　?。担?lt;/p><p>　　二、１．（Ｂ）；　２．（Ｄ）；　３．（Ｂ）；?。矗ǎ粒弧。担ǎ拢?lt;/p><p>　　三、１．．（提示：）</p><p><b>　?。玻。ㄌ崾荆海?lt;/b></p><p>

29、;　?。常　。ㄌ崾荆?）</p><p>　?。矗ㄌ崾荆海ǎ保ǎ玻├脺愇⒎址ǎ?lt;/p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　?。担ㄌ崾荆河?，知</b></p><p><b>　?。?；６．　</b></p><p>　?。?/p>

30、提示：　由原函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性，知，記，即得出．）</p><p>　　4-2 不定積分的分部積分法</p><p><b>　　[教學(xué)基本要求]</b></p><p>　　高等數(shù)學(xué) 掌握不定積分的分部積分法；明了選取和的原則．會(huì)求簡(jiǎn)單的有理函數(shù)積分．</p><p>　　微積分　掌握不定積分的分部積分法；明了

31、選取和的原則．</p><p><b>　　[知識(shí)要點(diǎn)]</b></p><p><b>　　1.分部積分法</b></p><p>　　分部積分法也是求不定積分的基本方法. 其基本思想是把一個(gè)較復(fù)雜的積分轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的積分；或者通過(guò)兩次分部積分, 將問(wèn)題“間接”解出．</p><p>　　分部積分

32、法與微分法的乘積求導(dǎo)法相對(duì)應(yīng). 公式為</p><p>　　分部積分法解決的主要問(wèn)題是:被積函數(shù)中含有對(duì)數(shù)或反三角函數(shù)；或者為函數(shù)的連乘形式. 如三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)與多項(xiàng)式的乘積；三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積等.</p><p>　　應(yīng)用這個(gè)方法的難點(diǎn)在于將積分恰當(dāng)?shù)嘏涑傻男问? 使得容易積分. 一般選取和的一般原則為:</p><p>　?。?）等形式，其中

33、為的多項(xiàng)式. 一般?。?lt;/p><p>　?。?）等形式，其中為的多項(xiàng)式. 一般取等.</p><p>　?。?）等形式，可取其中兩個(gè)因子中的任意一個(gè). 此時(shí)需經(jīng)過(guò)兩次分部積分, 通過(guò)解方程, 使不定積分“間接”求出. 但是必須注意: 連續(xù)使用分部積分公式時(shí)選取的為同種類型. 否則, 將會(huì)出現(xiàn)這樣的方程.</p><p>　　2. 有理函數(shù)的積分</p>

34、<p>　　假分式可以分解為多項(xiàng)式與真分式之和. 而真分式可以分解為部分分式之和, 而分解后的部分分式往往教易計(jì)算. 但有時(shí)對(duì)于一些特殊問(wèn)題常可采取某些技巧以簡(jiǎn)化運(yùn)算.</p><p>　　對(duì)于三角函數(shù)的有理式計(jì)算, 常采取萬(wàn)能代換公式, 進(jìn)而轉(zhuǎn)換為有理函數(shù)的積分.</p><p><b>　　[典型例題補(bǔ)充]</b></p><p&

35、gt;　　例1、（1）； （2）</p><p><b>　　解 （1）原式</b></p><p>　　注意：① 此題采用了分項(xiàng)技巧,簡(jiǎn)化了計(jì)算；② 此題也可用三角變換：求出.</p><p>　　（2）原式, 若令, 則</p><p><b>　　原式</b></p>

36、;<p>　　注: 在上述運(yùn)算中引入, 簡(jiǎn)化了運(yùn)算, 這種運(yùn)算技巧值得學(xué)習(xí).</p><p>　　例2、(1) ； (2)</p><p>　　解：(1) 此題需兩次使用分部積分公式:</p><p><b>　　經(jīng)移項(xiàng)整理, 得</b></p><p>　　注意: 此題在移項(xiàng)整理過(guò)程中

37、并沒(méi)有任意常數(shù), 而整理之后添加了常數(shù). 這是因?yàn)樵瓉?lái)式中兩端都含有不定積分符號(hào), 不定積分號(hào)中已隱含了任意常數(shù)；整理之后式中僅左端有不定積分號(hào)；而不定積分本身表示原函數(shù)的全體, 因此必須在等號(hào)右端添加任意常數(shù).</p><p><b>　　(2) </b></p><p>　　注意: 有時(shí)將原不定積分拆成兩個(gè)不定積分，將其中一個(gè)用分部積分法，可得與另一個(gè)不定積分形式

38、完全相同，但符號(hào)相反的不定積分，從而“抵消”， 最后結(jié)果需加任意常數(shù).</p><p>　　例3、（1） ；　?。?）</p><p>　　分析：本例需綜合利用湊微分法、換元法和分部積分法求解．</p><p><b>　　解 :原式</b></p><p>　　解二： 先作變量代換,再用分部積分法,可令,則(),.&l

39、t;/p><p><b>　　原式</b></p><p>　　解三：先用換元法,然后再分部積分.可令,　則</p><p><b>　　于是可得</b></p><p><b>　　原式</b></p><p>　　注：應(yīng)注意多種積分法的綜合運(yùn)用．<

40、/p><p>　　（2）分析：此例是分部積分法的典型例子，在被積函數(shù)的兩因式中取出部分先積分，得到原函數(shù)后便可與另一個(gè)因式的導(dǎo)數(shù)再積分得出結(jié)果．</p><p><b>　　由 </b></p><p><b>　　知，原式</b></p><p>　　例4、已知的一個(gè)原函數(shù)是，求</p>

41、<p><b>　　解：由已知 ，則</b></p><p><b>　　原式</b></p><p>　　例5、 求下列不定積分（1） ； （2）</p><p><b>　　解：（1）原式</b></p><p>　?。?）解法一 設(shè) ，</p>

42、;<p><b>　　去分母，得</b></p><p>　　比較兩端同次冪的系數(shù)，得</p><p><b>　　于是 </b></p><p>　　解法二：因?yàn)榉帜傅拇蝺绫确肿拥拇蝺绺撸?因此可采用倒變換計(jì)算．令，則</p><p><b>　　，于是</b&g

43、t;</p><p>　　解法三：設(shè)，則，于是</p><p>　　注：由于（1）被積函數(shù)分子的次冪比分母的次冪高，積分時(shí)先將被積函數(shù)化為整式和一個(gè)真分式的和．有理函數(shù)的積分有兩種方法：①標(biāo)準(zhǔn)方法（如(2)的解法一，其計(jì)算量較大）；②綜合方法（如(2)的解法二、解法三）．利用代數(shù)知識(shí)盡可能簡(jiǎn)化為部分分式的計(jì)算，　比較常用．</p><p>　　例6、 求三角函數(shù)有理

44、式的積分</p><p><b>　　解法一 令，得</b></p><p><b>　　解法二 </b></p><p><b>　　因此 </b></p><p>　　注：① 令，適用于三角函數(shù)有理式積分的各種情況，但不一定是最好的方法．②　解法二的方法比較簡(jiǎn)便．一

45、般地，求解 時(shí)，可將分子化成，其中為已知常數(shù)，由上式定出，則原式</p><p>　　例7、設(shè)是的原函數(shù)，且當(dāng)時(shí).</p><p><b>　　已知，試求</b></p><p>　　解:是的原函數(shù),．由題設(shè)知,</p><p><b>　　兩邊積分，得</b></p><p&g

46、t;　　由于，代入上式，得　又有，可得　</p><p><b>　　故　　</b></p><p>　　注：此題的關(guān)鍵是利用了；另外，在求積分的過(guò)程中，并沒(méi)有求出，而是通過(guò)求，可以“抵消”，從而使計(jì)算得到簡(jiǎn)化．</p><p><b>　　[單元測(cè)試]</b></p><p><b>　

47、　A組練習(xí)</b></p><p><b>　　一、填空題</b></p><p>　　1、設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，則　　　　　　　　　?。?lt;/p><p>　　2、　　　　　　　　　　　　　?。?lt;/p><p>　　3、　　　　　　　　　　　　?。?lt;/p><p>　　4、設(shè)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)

48、，那么　　　　　　　?。?lt;/p><p>　　5、若，則　　　　　　　　　　?。?lt;/p><p><b>　　二、單項(xiàng)選擇題</b></p><p>　　1、一個(gè)函數(shù)如果有原函數(shù)，則它一定有（ 　 ）原函數(shù)．</p><p>　　（Ａ）一個(gè)；?。ǎ拢﹥蓚€(gè)；　?。ǎ茫o(wú)窮多個(gè)；　　（Ｄ）都不對(duì)．</p>

49、<p>　　2、若，則（　　　）．</p><p>　?。ǎ粒弧。ǎ拢弧。ǎ茫弧。ǎ模?lt;/p><p><b>　　3、（　　?。?lt;/b></p><p>　?。ǎ粒　　　　。ǎ拢?lt;/p><p>　?。ǎ茫　　　　　　　。ǎ模?lt;/p><p><b>　　4、（　

50、　?。?lt;/b></p><p>　?。ǎ粒　　　　　。ǎ拢?lt;/p><p>　?。ǎ茫　　　　　。ǎ模?lt;/p><p><b>　　5、（　　　?。?lt;/b></p><p>　?。ǎ粒　　　　。ǎ拢?lt;/p><p>　?。ǎ茫　　　　。ǎ模?lt;/p><p

51、><b>　　三、計(jì)算題</b></p><p>　　1、　　　 2、 </p><p>　　3、 4、 </p><p>　　5、 6、</p><p><b>　　7、已知，且，求 </b></p&

52、gt;<p><b>　　四、應(yīng)用題</b></p><p>　　1、已知曲線上任一點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)，且在曲線上處的切線為，求這條曲線的方程．</p><p>　　2、在積分曲線族中，過(guò)點(diǎn)的曲線為，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)。</p><p>　　五、證明題：設(shè) 求證：</p><p>　　A組答案：一、1、　

53、 2、　 3、　</p><p><b>　　4、　　 5、</b></p><p>　　二、1、（Ｃ） 2、（Ｄ） 3、（Ａ） 4、（Ｄ） 5、（Ｂ）</p><p>　　三、1、 2、</p><p><b>　　3、　　4、</

54、b></p><p><b>　　5、</b></p><p><b>　　6、 7、</b></p><p>　　四、1、 2、</p><p><b>　　B組練習(xí)</b></p><p><b>　　一、填空題&l

55、t;/b></p><p>　　1、　　　　　　　　　　　　　．</p><p>　　2、　　　　　　　　　　　　?。?lt;/p><p>　　3、　　　　　　　　　　　　　　?。?lt;/p><p>　　4、設(shè)的原函數(shù)為，則　　　　　　　　　　　?。?lt;/p><p>　　5、　　　　　　　　　　　?。?lt;/p>

56、;<p><b>　　二、單項(xiàng)選擇題</b></p><p>　　1、已知，則（　　　?。?lt;/p><p>　　（Ａ）　　　　　?。ǎ拢?lt;/p><p>　?。ǎ拢　　　　。ǎ模?lt;/p><p><b>　　2、（　　　　）．</b></p><p>　?。?/p>

57、Ａ）　　　　　　　?。ǎ拢?lt;/p><p>　　（Ｃ）　　　　　　　?。ǎ模?lt;/p><p><b>　　3、（　　　?。?lt;/b></p><p><b>　?。ǎ粒ǎ拢?lt;/b></p><p>　?。ǎ茫　　　　　。ǎ模?lt;/p><p>　　4、 （

58、 ）．</p><p>　?。ǎ粒　　　。ǎ拢?lt;/p><p>　?。ǎ茫　　　　　。ǎ模?lt;/p><p>　　5、已知，其中及，則（　　　?。?lt;/p><p>　?。ǎ粒　　　　　　　　。ǎ拢?lt;/p><p><b>　?。ǎ茫。ǎ模?lt;/b></p><p>

59、<b>　　三、計(jì)算題</b></p><p>　　1、　　　 2、 </p><p>　　3、 4、 </p><p>　　5、 6、</p><p>　　7、設(shè)是的原函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，且</p><p&g

60、t;<b>　　，試求</b></p><p><b>　　四、應(yīng)用題</b></p><p>　　1、已知曲線上任意點(diǎn)的切線的斜率為，且時(shí)，是極大值，求及它的極小值．</p><p>　　2、在平面上有一運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在X軸方向和Y軸方向的分速度分別為，</p><p>　　，且，求質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間的所

61、在位置。</p><p>　　五、證明題：設(shè)，可微，且的反函數(shù)存在，則</p><p>　　B組答案：一、1、　　　2、或</p><p>　　3、　 4、　 5、</p><p>　　二、1、（Ｂ）；　 2、（Ｄ）；　 3、（Ｃ）；　 4、（Ａ）；　 5、（Ｃ）．</p><p&

62、gt;<b>　　三、1、</b></p><p><b>　　2、或</b></p><p>　?。ㄌ崾荆河萌f(wàn)能代換公式化為有理函數(shù)積分或利用）</p><p>　　3、（提示：令，然后利用分部積分法）； 4、（提示：利用分部積分法）</p><p>　　5、（提示：利用倒變換：）</p