《高等數(shù)學(xué)》不定積分課后習(xí)題詳解

1、1不定積分不定積分內(nèi)容概要內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容主要內(nèi)容不定積分的概念設(shè)，，若存在函數(shù)，若存在函數(shù)，使得對任意，使得對任意()fxxI?()Fx均有均有xI?()()Fxfx??或，則稱，則稱為的一個(gè)原函數(shù)。的一個(gè)原函數(shù)。()()dFxfxdx?()Fx()fx的全部原函數(shù)稱為的全部原函數(shù)稱為在區(qū)間在區(qū)間上的不定積分，上的不定積分，()fx()fxI記為記為()()fxdxFxC???注：（注：（1）若）若連續(xù)，則必可積；（連續(xù)，則必可積

2、；（2）若）若()fx均為均為的原函數(shù)，則的原函數(shù)，則。故不。故不()()FxGx()fx()()FxGxC??定積分的表達(dá)式不唯一。定積分的表達(dá)式不唯一。性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1：或；()()dfxdxfxdx??????()()dfxdxfxdx??????性質(zhì)性質(zhì)2：或；()()FxdxFxC????()()dFxFxC???性質(zhì)性質(zhì)3：，為[()()]()()fxgxdxfxdxgxdx????????????非零常數(shù)。非零常數(shù)。第一換第

3、一換元積分法積分法（湊微（湊微分法）分法）設(shè)的原函數(shù)為原函數(shù)為，可導(dǎo)，則可導(dǎo)，則()fu()Fu()ux??有換元公式：有換元公式：(())()(())()(())fxxdxfxdxFxC???????????第二類第二類換元積換元積分法分法設(shè)單調(diào)、可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為零，單調(diào)、可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為零，()xt??有原函數(shù)有原函數(shù)，則，則[()]()ftt???()Ft1()(())()()(())fxdxfttdtFtCFxC??????????

4、??不定積分計(jì)算方法分部積分部積分法分法()()()()()()()()uxvxdxuxdvxuxvxvxdux???????3解：解：2232122ln23xxxxdxdxxdxxC?????????（）★(4)★(4)(3)xxdx??思路思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項(xiàng)，分別積分。根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項(xiàng)，分別積分。解：解：315322222(3)325xdxxdxxdxxxC?????????x

5、★★(5)★★(5)4223311xxdxx????思路思路:觀察到觀察到后，根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分后，根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分422223311311xxxxx??????項(xiàng)，分別積分。項(xiàng)，分別積分。解：解：42232233113arctan11xxdxxdxdxxxCxx????????????★★(6)★★(6)221xdxx??思路思路:注意到注意到，根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分項(xiàng)，，根據(jù)不定積

6、分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分項(xiàng)，222221111111xxxxx????????分別積分。分別積分。解：解：2221arctan.11xdxdxdxxxCxx??????????注：容易看出注：容易看出(5)(6)(5)(6)兩題的解題思路是一致的。一般地，如果被積函數(shù)為一個(gè)兩題的解題思路是一致的。一般地，如果被積函數(shù)為一個(gè)有理的假分式，通常先將其分解為一個(gè)整式加上或減去一個(gè)真分式的形式，再有理的假分式，通常先將其分解為一個(gè)整式加上或減

7、去一個(gè)真分式的形式，再分項(xiàng)積分。分項(xiàng)積分?！?7)★(7)xdxxxx?34134（）2思路思路:分項(xiàng)積分。分項(xiàng)積分。解：解：3411342xdxxdxdxxdxxdxxxxx???????????34134（）2223134ln||.423xxxxC???????★(8)★(8)2232()11dxxx????思路思路:分項(xiàng)積分。分項(xiàng)積分。解：解：22223211()323arctan2arcsin.1111dxdxdxxxCxxxx