6.1定積分

1、第六章第六章定積分及其應用定積分及其應用定積分是積分學中的另一個重要概念本章首先由曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程問題引出定積分的概念，然后討論它的性質和計算方法最后介紹定積分在幾何、物理、經(jīng)濟等方面的一些應用第一節(jié)定積分的概念和性質一、定積分舉例一、定積分舉例1曲邊梯形面積曲邊梯形面積設在區(qū)間上非負、連續(xù)由直線、、及曲線)(xfy?][baax?bx?0?y所圍成的圖形稱為曲邊梯形曲邊梯形，其中曲線弧稱為曲邊，求這個曲邊梯形的面積)

2、(xfy?如圖6－1所示，若曲邊梯形底邊上的高在區(qū)間上的變動，可以看出它的)(xf][ba變動是連續(xù)變化的，在很小一段區(qū)間上它的變化很小，近似于不變因此，如果把區(qū)間劃分為許多小區(qū)間，在每個小區(qū)間上用其中某一點處的高來近似代替同一個小區(qū)間][ba上的小曲邊梯形的變高，那么每一個小曲邊梯形就可近似地看成一個小矩形，我們就以這些所有的小矩形面積之和作為曲邊梯形面積的近似值，并且把區(qū)間無限細分下去，使每個小區(qū)間的長度][ba都趨于零，這時所有小

3、矩形面積之和的極限就是這個曲邊梯形面積的精確值我們把計算步驟敘述于下：（1）分割分割把曲邊梯形分割成若干個小曲邊梯形，在區(qū)間中任意插入若干個分點][ba，bxxxxxann???????1210?把分成個小區(qū)間][ban[][]…[]…[]10xx21xxiixx1?nnxx1?它們的長度記為，經(jīng)過每一個分點作平行于軸的直線段，1????iiixxx)321(ni??y把曲邊梯形分成個小曲邊梯形，它們的面積記為niA?)321(ni??

4、（2）近似代替近似代替在每個小區(qū)間[]上任取一點，用以為iixx1?i?)321(ni??)(if?高，為底的小矩形的面積近似代替第個小曲邊梯形的面積，即ix?iiiixfA???)(?)321(ni??（3）求和求和用這樣得到的個小矩形面積之和近似代替所求整個曲邊梯形的面積，nA即nnixfxfxfA???????)()()(221????????niiixf1)(?（4）取極限取極限設，當愈來愈?。ㄍ瑫r小曲邊梯形的個數(shù)??nxxx?

5、????max21??愈來愈大）時，每個小矩形面積就越來越接近相應的小曲邊梯形的面積，從而n就越來越接近曲邊梯形的面積當時，和式的iinixf???)(1?0??)(??niinixf???)(1?極限就是所求的曲邊梯形的面積即???????niiinxfA1)(0)(lim??2變速直線運動的路程變速直線運動的路程設物體作變速直線運動，已知速度是時間間隔[]上的連續(xù)函數(shù)，且)(tvv?21TTt，求在這段時間內物體所經(jīng)過的路積0)(?

6、tvSa=x0xn=bxx1x2xi1xn1xiyOξ1ξ2ξiξny=f(x)圖6—1在區(qū)間[]上的定積分（定積分（Definiteintegral）記為，即)(xfba?badxxf)(()bafxdx????????niiinxf1)(0)(lim??其中稱為被積函數(shù)被積函數(shù)，稱為被積表達式被積表達式，稱為積分變量積分變量[]稱為積分積分)(xfdxxf)(xba區(qū)間區(qū)間稱為積分下限積分下限稱為積分上限積分上限ab按定積分的定義，

7、前面所舉例子可表示如下：（1）曲邊梯形的面積是曲線在區(qū)間[]上的定積分即?y)(xfba??badxxfA)(（2）物體作變速直線運動所經(jīng)過的路程是速度在區(qū)間[]上的定積分即)(tvv?21TT??21)(TTdttvS除了這兩個可以用定積分表示外，還有類似的表示如：（3）氣體（或物體）在外界壓強作用下發(fā)生體積變化而與環(huán)境交換的功為體積功，p外若體系的體積從變化到，則所需要對體積功為1V2V21VVWpdV???外（4）物體在變力作用下

8、從移動到力對物體所做的功為)(xFab??badxxFW)(這樣的問題還有很多，具體介紹將在本章第六節(jié)中描述。注意：注意：1定積分是一個特殊和式的極限值，是一個常量，它只與被積函數(shù)和積)(xf分區(qū)間有關而與積分變量用什么字母無關，即有][ba??badxxf)(?badttf)(2定積分的定義中我們假定如果，我們規(guī)定ba?ba??abdxxf)(???badxxf)(特別地當時有ba?0)(??aadxxf3函數(shù)在上滿足什么條件一定可積

9、？這個問題我們不作深入討論，)(xf][ba僅給出以下兩個充分條件定理定理若在區(qū)間上連續(xù)，則在上可積（證明略）)(xf][ba)(xf][ba定理定理若在區(qū)間上有界，且僅有有限個第一類間斷點，則在)(xf][ba)(xf上可積（證明略）][ba三、定積分的幾何意義定積分的幾何意義當在區(qū)間上連續(xù)時，其定積分可分為三種情形)(xf][ba?badxxf)(1若在上，定積分在幾何上表示由連續(xù)曲線與][ba0)(?xf?badxxf)()(xf