定積分典型例題

1、定積分典型例題例1求33322321lim(2)nnnnn??????分析將這類問題轉(zhuǎn)化為定積分主要是確定被積函數(shù)和積分上下限若對題目中被積函數(shù)難以想到，可采取如下方法：先對區(qū)間等分寫出積分和，再與所求極限相比較[01]n來找出被積函數(shù)與積分上下限解將區(qū)間等分，則每個(gè)小區(qū)間長為，然后把的一個(gè)因子[01]n1ixn??2111nnn??乘入和式中各項(xiàng)于是將所求極限轉(zhuǎn)化為求定積分即1n==33322321lim(2)nnnnn??????3

2、33112lim()nnnnnn??????13034xdx??例2=__________________2202xxdx??解法1由定積分的幾何意義知，等于上半圓周()2202xxdx??22(1)1xy???0y?與軸所圍成的圖形的面積故=x2202xxdx??2?例18計(jì)算21||xdx??分析被積函數(shù)含有絕對值符號，應(yīng)先去掉絕對值符號然后再積分解＝＝＝21||xdx??0210()xdxxdx?????220210[][]22x

3、x???52注在使用牛頓－萊布尼茲公式時(shí)應(yīng)保證被積函數(shù)在積分區(qū)間上滿足可積條件如，則是錯(cuò)誤的錯(cuò)誤的原因則是由于被積函數(shù)在處間斷且在33222111[]6dxxx??????21x0x?被積區(qū)間內(nèi)無界.例19計(jì)算220maxxxdx?分析被積函數(shù)在積分區(qū)間上實(shí)際是分段函數(shù)212()01xxfxxx????????解232122212010011717max[][]23236xxxxdxxdxxdx??????????例20設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且

4、，則()fx10()3()fxxftdt???()________fx?分析本題只需要注意到定積分是常數(shù)（為常數(shù)）()bafxdx?ab解因連續(xù)，必可積，從而是常數(shù)，記，則()fx()fx10()ftdt?10()ftdta??2111022444411xxdxdxx?????????????例23計(jì)算3412ln(1ln)eedxxxx??分析被積函數(shù)中含有及，考慮湊微分1xlnx解===3412ln(1ln)eedxxxx??34(

5、ln)ln(1ln)eedxxx??34122(ln)ln1(ln)eedxxx??341222(ln)1(ln)eedxx??==3412[2arcsin(ln)]eex6?例24計(jì)算40sin1sinxdxx???解==40sin1sinxdxx???420sin(1sin)1sinxxdxx????244200sintancosxdxxdxx?????=244200cos(sec1)cosdxxdxx???????==44001[

6、][tan]cosxxx????224???例26計(jì)算，其中022adxxax???0a?解法1令，則sinxat?022adxxax???20cossincostdttt????201(sincos)(cossin)2sincosttttdttt???????201(sincos)[1]2sincosttdttt???????=??201ln|sincos|2ttt????4?注如果先計(jì)算不定積分，再利用牛頓萊布尼茲公式求解則比較復(fù)2