定積分講義-

1、xyo)(xfy?0xa?bxn?iiixx1??第六章第六章定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用積分學(xué)的另一個(gè)基本概念是定積分本章我們將闡明定積分的定義，它的基本性質(zhì)以及它的應(yīng)用此外，我們要重點(diǎn)講述溝通微分法與積分法之間關(guān)系的微積分學(xué)基本定理，它把過(guò)去一直分開(kāi)研究的微分和積分彼此互逆地聯(lián)系起來(lái)，成為一個(gè)有機(jī)的整體最后，我們把定積分的概念加以推廣，簡(jiǎn)要討論兩類(lèi)廣義積分6.1定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)1.定積分的定義定積分的定義我們先來(lái)

2、研究?jī)蓚€(gè)實(shí)際問(wèn)題例1計(jì)算曲邊梯形的面積設(shè)為閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且由曲線(xiàn)，直線(xiàn))(xfy?][ba0)(?xf)(xfy?及軸所圍成的平面圖形(圖6—1)稱(chēng)為在上的曲邊梯形，試求bxax??x)(xf][ba這曲邊梯形的面積圖6—1我們先來(lái)分析計(jì)算會(huì)遇到的困難由于曲邊梯形的高是隨而變化的，所以)(xfx不能直接按矩形或直角梯形的面積公式去計(jì)算它的面積但我們可以用平行于軸的y直線(xiàn)將曲邊梯形細(xì)分為許多小曲邊梯形如圖6—1所示在每個(gè)小曲邊梯形以

3、其底邊一點(diǎn)的函數(shù)值為高，得到相應(yīng)的小矩形，把所有這些小矩形的面積加起來(lái)，就得到原曲邊梯形面積的近似值容易想象，把曲邊梯形分得越細(xì)，所得到的近似值就愈接近原曲邊梯形的面積，從而運(yùn)用極限的思想就為曲邊梯形面積的計(jì)算提供了一種方法下面我們分三步進(jìn)行具體討論：iniitv???1)(?(3)當(dāng)分點(diǎn)的個(gè)數(shù)無(wú)限地增加，最長(zhǎng)的子區(qū)間的長(zhǎng)度趨于零時(shí)就有stvinii????1)(?以上兩個(gè)問(wèn)題分別來(lái)自于幾何與物理中，兩者的性質(zhì)截然不同，但是確定它們的量

4、所使用的數(shù)學(xué)方法是一樣的，即歸結(jié)為對(duì)某個(gè)量進(jìn)行“分割、近似求和、取極限”，或者說(shuō)都轉(zhuǎn)化為具有特定結(jié)構(gòu)的和式(1.1)的極限問(wèn)題，在自然科學(xué)和工程技術(shù)中有很多問(wèn)題，如變力沿直線(xiàn)作功，物質(zhì)曲線(xiàn)的質(zhì)量、平均值、弧長(zhǎng)等，都需要用類(lèi)似的方法去解決，從而促使人們對(duì)這種和式的極限問(wèn)題加以抽象的研究，由此產(chǎn)生了定積分的概念定義定義6.1.1設(shè)函數(shù)在上有定義，在內(nèi)任取個(gè)分點(diǎn))(xf][ba)(ba1?nbxxxxxann????????1210?把分成個(gè)

5、子區(qū)間，，…，，每個(gè)子區(qū)間的長(zhǎng)度為][ban][10xx][21xx][1nnxx?在每個(gè)子區(qū)間上任取一點(diǎn)(稱(chēng)為1????iiixxx)21(ni??][1iixx?)21(ni??i?介點(diǎn))，作和式，并記如果不論對(duì)怎樣劃分成子區(qū)間，iniixf???1)(???inix????1max?][ba也不論在子區(qū)間上怎樣取介點(diǎn)，只要當(dāng)時(shí)，和式(1.1)總趨于確定的值][1iixx?i?0??，則稱(chēng)這極限值為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即II

6、)(xf][ba?badxxf)((1.2)iniibaxfIdxxf???????10)(lim)(??其中稱(chēng)為被積函數(shù)，稱(chēng)為積分變量，稱(chēng)為積分區(qū)間，分別稱(chēng)為積分)(xfx][baba的下限和上限關(guān)于定積分的定義，再?gòu)?qiáng)調(diào)說(shuō)明幾點(diǎn)：(1)區(qū)間劃分的細(xì)密程度不能僅由分點(diǎn)個(gè)數(shù)的多少或的大小來(lái)確定因?yàn)閉[ban盡管很大，但每一個(gè)子區(qū)間的長(zhǎng)度卻不一定都很小所以在求和式的極限時(shí)，必須n要求最長(zhǎng)的子區(qū)間的長(zhǎng)度，這時(shí)必然有0????n(2)定義中的兩