常見的幾個函數(shù)不等式及其應用

1、1常見的幾個函數(shù)不等式及其應用常見的幾個函數(shù)不等式及其應用武漢市教育科學研究院孔峰在近幾年的高考中，無論是國家考試中心的數(shù)學命題，還是一些獨立命題省市的數(shù)學命題，有一些函數(shù)不等式在命題中出現(xiàn)的頻率很高，它們在函數(shù)的性質(zhì)的應用中和函數(shù)不等式的證明中發(fā)揮著很重要的作用，下面分別介紹這些函數(shù)不等式.一、函數(shù)不等式的介紹一、函數(shù)不等式的介紹（1）①)1()1ln(1??????xxxxx證明證明：令，則.xxxf???)1ln()(xxxxf?

2、??????1111)(當時，；當時，.01???x0)(??xf0?x0)(??xf所以在時取得極大值，故，)(xf0?x0)0()(??fxf所以.)1()1ln(????xxx令，則.xxxxg????1)1ln()(22)1()1()1(11)(xxxxxxxg?????????當時，；當時，.01???x0)(??xf0?x0)(??xf所以在時取得極小值，故，)(xf0?x0)0()(??gxg.)1)(1ln(1?????

3、?xxxx綜上可知，.)1()1ln(1??????xxxxx變式變式：，②)0(1ln???xxx.③)0(11ln???xxx（2）④)1)(1(21ln???xxxx⑤)10)(1(21ln????xxxx證明證明：令，則.)1(21ln)(xxxxf???02)1()11(211)(22????????xxxxxf所以函數(shù)在單調(diào)遞減.)(xf)0(??所以，當時，；當時，.1?x0)1()(??fxf10??x0)1()(??f

4、xf所以，不等式④，⑤成立.變式變式：⑥)0(1)1ln(????xxxx（3）⑦)1(1)1(2ln????xxxx⑧)10(1)1(2ln?????xxxx證明證明：令，則.1)1(2ln)(????xxxxf0)1()1()(22?????xxxxf所以函數(shù)在單調(diào)遞增.)(xf)0(??當時，；當時，.1?x0)1()(??fxf10??x0)1()(??fxf所以，不等式⑦，⑧成立.3當時，，有，；0?x11??x)111(21

5、)1ln(xxx?????0)(??xf當時，，有，.01???x110???x)111(21)1ln(xxx?????0)(??xf因此，當時，為減函數(shù)；當時，為增函數(shù).0?x)(xf01???x)(xf（Ⅱ）由可知，，所以.e)11(????nn1)11ln()(????nn?nn???)11ln(1?記，則，.]10(1??tntt1)1ln(1????]10(?t由不等式⑨，可知，)10(211)1ln(112ln1??????

6、?xxx12ln11)1ln(1????tt.12ln1????所以，的最大值為.?12ln1?（2）利用常用不等式求參數(shù)的取值范圍）利用常用不等式求參數(shù)的取值范圍例2（2010年全國卷，理22）設.xxf???e1)(（Ⅰ）證明：時，；1??x1)(??xxxf（Ⅱ）設時，，求的取值范圍.0?x1)(??axxxfa解：（Ⅰ）利用分析法，結合①式可以證明.)1()1ln(1??????xxxxx（Ⅱ）因為在時恒成立，1e110????

7、axxx0?x所以在時恒成立，則.01??ax0?x0?a另一方面，由，得.1e110????axxxxaxx11ee???令，由知.tx?e0?x1?t.)1(ln11?????tttta由不等式⑦可知，)1(1)1(2ln????xxxx)1(1)1(2ln????tttt所以時，.1?t21)1(211ln11????????ttttttt又由導數(shù)定義可知，11lnlim1???ttt所以，故.21ln)1(lim1????ttt