雙勾函數(shù)與不等式的應(yīng)用

1、雙勾函數(shù)與不等式的應(yīng)用,一、雙勾函數(shù),下面研究函數(shù),1、定義域：,2、值域：,把上式去分母，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，整理得：,解得：,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，y=2 x=-1時(shí)，y=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，y=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)，y=-2,,,3、奇偶性,其定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，且滿足f(-x)=-f(x)形式，所以此函數(shù)為奇函數(shù)。,4、圖象如右,,,5、單調(diào)性,從圖易知單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,解：,令x-1

2、=u，則,上式可化為,解：,上式可化為,答案,答案,解：函數(shù),例3 如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底 寬為2米的無蓋長(zhǎng)方體沉淀箱。污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出。 設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a米，高度為b米。已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù) 與a,b的乘積ab成反比?，F(xiàn)有制箱材料60平方米。問當(dāng)a,b各為多少米 時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最?。ˋ、B孔的面積忽略 不計(jì)）。,解法一：依題意，即所求的a,b的值使ab最大。

3、由題設(shè)知,4b+2ab+2a=60 (a>0,b>0)，,即 a+2b+ab=30 (a>0,b>0)。,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)，上式取等號(hào)。,由a>0，b>0，解得0<ab≤18。,即當(dāng)a=2b時(shí)，ab取得最大值，其最大值為18。,∴2b2=18。,解得b=3，a=6。,經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。,故當(dāng)a為6米，b為3米時(shí)，,解法二：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，則y=k/ab，其

4、中k>0為比例系數(shù)，依題意，即所求的a,b值使y值最小。 根據(jù)題設(shè)，有,4b+2ab+2a=60(a>0,b>0)，,得 b=30-a/2+a(0<a<30)， ①,當(dāng)a+2=64/(a+2)時(shí)取等號(hào)，y達(dá)最小值。,這時(shí)a=6,a=-10（舍去）。,將a=6代入①式得b=3。,故當(dāng)a為6米，b為3米時(shí)，,經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。,,例4、已知直角三角形的周長(zhǎng)為定值l，求它的面積的最大值。,故

5、面積,于是當(dāng),面積有最大值,練習(xí)1、已知圓柱的體積為定值V，求圓柱全面積的最小值。,答案,答案,1、,所以原式可化為：,而此函數(shù)在區(qū)間,上是單調(diào)減函數(shù),因此當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)函數(shù)有最小值,而無最大值。,2、,當(dāng)且僅當(dāng),返回,3、,,4、法一：,顯然，當(dāng)sin2x=?1時(shí)，上面兩個(gè)式子同時(shí)成立，故原式有最小值,法二、可設(shè)sin2x=t，再利用函數(shù)的單調(diào)性求解。,返回,1、法一：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，全面積為S。則,法二：,返回,例5、過

6、點(diǎn)P（1，4）引一直線l，它在兩條坐標(biāo)軸上的截距皆為 正且它們的和最小，求這條直線的方程。,解：由前面的分析，l在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為：,故所求直線方程為(y-4)=-2(x-1),即2x+y-8=0.,分析：由線段垂直平分線性質(zhì)可得|PA|=|PB|，這樣就建立了關(guān)于點(diǎn)P的方程，再由橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍，可求。,將（2）代入（1）式，得,錯(cuò)解的原因是利用了復(fù)數(shù)模的不等式：但是忽略了等號(hào)成立的條件,解（1）依題設(shè)

7、，有,解:設(shè)耕地平均每年至多能減少x公頃，又設(shè)該地區(qū)現(xiàn)有人口為 P人，糧食單產(chǎn)為M噸/公頃。 依題意，得不等式：,答：該地區(qū)耕地平均每年至多只能減少4公頃。,,例9、甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（每千米小時(shí)）的平方成正比，比例系數(shù)為b、固定部分為a元。 （1）把全程運(yùn)輸成本y（元