均值不等式常見題型整理

1、該資料由書利華教育網(wǎng)【www.ShuLiHua.net】為您整理提供均值不等式 不等式一、 一、 基本知識梳理 基本知識梳理1.算術(shù)平均值：如果 a﹑b∈R+，那么 叫做這兩個正數(shù)的算術(shù)平均值.2.幾何平均值：如果 a﹑b∈R+，那么 叫做這兩個正數(shù)的幾何平均值3.重要不等式：如果 a﹑b∈R，那么 a2+b2≥ (當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時，取

2、“=”)均值定理：如果 a﹑b∈R+，那么 ≥ (當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時，取“=”) 2a b ?均值定理可敘述為： 4．變式變形：? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?2 2222 21 ; 22 ; 23 0 ;4 25 2 .a b aba bb a ab a ba ba b

3、? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?；5.利用均值不等式求最值， “和定，積最大；積定，和最小” ，即兩個正數(shù)的和為定值，則可求其積的最大值；積為定值，則可求其和的最小值。注意三個條件：“一正，二定，三相等”即：（1）各項或各因式非負(fù)；（2）和或積為定值；（3）各項或各因式都能取得相等的值。6.若多次用均值不等式求最值，必須保持每次取“=”號的一致性。有時為了達(dá)到利用均值不等式的條件，需要經(jīng)

4、過配湊﹑裂項﹑轉(zhuǎn)化﹑分離常數(shù)等變形手段，創(chuàng)設(shè)一個應(yīng)用均值不等式的情景。二、 二、 常見題型： 常見題型：1、分式函數(shù)求最值，如果 、分式函數(shù)求最值，如果 可表示為 可表示為 的形式，且 的形式，且 在 ) (x f y ? B x gA x mg y ? ? ? ) ( ) ( ) (x g定義域內(nèi)恒正或恒負(fù)， 定義域內(nèi)恒正或恒負(fù)， 則可運用均值不等式來求最值。 則可運用均值不等式來求最值。 , 0 , 0 ? ? m A例：求函數(shù) 的

5、最小值。 ) 0 1 ( 11 2? ? ? ?? ? ? a x xx ax y 且解： 1 ) 1 ( 1111 2? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? xa a ax xx ax ax xx ax y1 2 1 2 2 1 1 ) 1 ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a a a xa x a該資料由書利華教育網(wǎng)【www.ShuLiHua.net】為您整理提供例：已知 a,b,c 均為，求證： 。 c b

6、a accbba ? ? ? ? ?2 2 2證明： 均為正數(shù)， ， c b a , , ? a c ac c b cb b a ba ? ? ? ? ? ? ? 2 , 2 , 22 2 2c b a a c c b b a accbba ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 ( ) 2 ( ) 2 (2 2 2總之，均值不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它是求多項式的最值以及函數(shù)的值域的常用方法。在應(yīng)用均值不等式時，

7、不論怎樣變形，均需滿足“一正二定三相等”的條件?！眷柟叹毩?xí) 鞏固練習(xí)】1、若 求函數(shù) 最值。 答案： , 0 , 0 ? ? b a b axx y ? ? 2 abab y abab y 2 , 2max min ? ? ?2、求函數(shù) 的值域。 答案：[-3，0] ) 0 ( 132 ? ? ? ? x x xx y3、已知正數(shù) 滿足 求 的最小值。答案： y x, , 1 2 ? ? y x y x1 1 ? 2 2 3 ?4、

8、已知 為正數(shù)，且 ，求 的最小值。答案： z y x , , 2 ? ? ? z y x 21 1 1 ? ? ? y x S 295、若 ，求 的最小值。答案： ) 0 ]( , 1 [ ? ? a b a x xb x ab y ? ? ? ) 1 ( a6、設(shè) 為整數(shù)，求證： 。 c b a , , 22 2 2 c b ab aca cbc ba ? ? ? ? ? ? ? ?三、利用不等式解題的典型例題解析： 三、利用不等式解

9、題的典型例題解析：題型一：利用均值不等式求最值（值域） 題型一：利用均值不等式求最值（值域）例 1、 （1）已知 ，求 的最小值 0 ? x x x x f 3 12 ) ( ? ?（2）已知 ，求 的最大值 3 ? x x x x f ? ? ? 34 ) (變式 變式 1： 1、若 ，求 的值域 R x ? x x x f ? ? ? 34 ) (2、函數(shù) 的最大值為 ? ? 0