均值不等式常考題型

1、均值不等式及其應(yīng)用均值不等式及其應(yīng)用一均值不等式一均值不等式1.（1）若，則(2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取Rba?abba222??Rba?222baab??ba?“=”）2.(1)若，則(2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）Rba?abba??2Rba?abba2??ba?(3)若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）Rba?22????????baabba?3.若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取0x?12xx??1x?0x?12xx???

2、1x??“=”）若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）0x?111222xxxxxx??????即或ba?3.若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）0?ab2??abbaba?若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）0ab?222abababbababa??????即或ba?4.若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）Rba?2)2(222baba???ba?注：（1）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最

3、小，和定積最大”（2）求最值的條件“一正，二定，三相等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問(wèn)題方面有廣泛的應(yīng)用應(yīng)用一：求最值應(yīng)用一：求最值例1：求下列函數(shù)的值域（1）y＝3x2＋（2）y＝x＋12x21x解：（1）y＝3x2＋≥2＝∴值域?yàn)閇，∞）12x266（2）當(dāng)x＞0時(shí)，y＝x＋≥2＝2；1x當(dāng)x＜0時(shí)，y＝x＋=－（－x－）≤－2=－21x1x∴值域?yàn)椋ǎ蓿?]∪[2，∞）解題技巧：解題

4、技巧：技巧一：湊項(xiàng)技巧一：湊項(xiàng)例1：已知，求函數(shù)的最大值。54x?14245yxx????解：因，所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又不是常數(shù)，所以對(duì)要進(jìn)行拆、湊450x??1(42)45xx??A42x?項(xiàng)，，55404xx?????11425434554yxxxx?????????????????231????解：令，則24(2)xtt???2254xyx???22114(2)4xtttx???????因，但解得不在區(qū)間，故等號(hào)不成立，考慮單

5、調(diào)性。101ttt???1tt?1t????2??因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故。1ytt????1????2??52y?所以，所求函數(shù)的值域?yàn)椤?2????????練習(xí)求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時(shí)，x的值.（1）（2）(3)231(0)xxyxx????1233yxxx????12sin(0)sinyxxx????2已知，求函數(shù)的最大值.；3，求函數(shù)的最大值.01x??(1)yxx??203x??(23)

6、yxx??條件求最值條件求最值1.若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值是.2??baba33?分析：“和”到“積”是一個(gè)縮小的過(guò)程，而且定值，因此考慮利用均值定理求最小值，ba33?解：都是正數(shù)，≥ba33和ba33?632332????baba當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由及得即當(dāng)時(shí)，的最小值是ba33?2??baba33?1??ba1??baba33?6變式：若，求的最小值.并求xy的值44loglog2xy??11xy?技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最

7、值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)。技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)。。2：已知，且，求的最小值。00xy??191xy??xy?錯(cuò)解錯(cuò)解：，且，故?00xy??191xy?????1992212xyxyxyxyxy??????????????min12xy??。錯(cuò)因：解法中兩次連用均值不等式，在等號(hào)成立條件是，在等號(hào)成立2xyxy??xy?1992xyxy??條件是即取等