均值不等式常見(jiàn)題型整理

1、均值不等式均值不等式一、一、基本知識(shí)梳理基本知識(shí)梳理1.算術(shù)平均值：如果a﹑b∈R，那么叫做這兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值.2.幾何平均值：如果a﹑b∈R，那么叫做這兩個(gè)正數(shù)的幾何平均值3.重要不等式：如果a﹑b∈R，那么a2b2≥(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取“=”)均值定理：如果a﹑b∈R，那么≥(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取“=”)2ab?均值定理可敘述為：4變式變形：??????????????2222221222304252.abababbaabab

2、abab???????????????????????；5.利用均值不等式求最值，“和定，積最大；積定，和最小”，即兩個(gè)正數(shù)的和為定值，則可求其積的最大值；積為定值，則可求其和的最小值。注意三個(gè)條件：“一正，二定，三相等”即：（1）各項(xiàng)或各因式非負(fù)；（2）和或積為定值；（3）各項(xiàng)或各因式都能取得相等的值。6.若多次用均值不等式求最值，必須保持每次取“=”號(hào)的一致性。有時(shí)為了達(dá)到利用均值不等式的條件，需要經(jīng)過(guò)配湊﹑裂項(xiàng)﹑轉(zhuǎn)化﹑分離常數(shù)等變

3、形手段，創(chuàng)設(shè)一個(gè)應(yīng)用均值不等式的情景。二、二、常見(jiàn)題型：常見(jiàn)題型：1、分式函數(shù)求最值，如果、分式函數(shù)求最值，如果可表示為可表示為的形式，且的形式，且在定在定)(xfy?BxgAxmgy???)()()(xg義域內(nèi)恒正或恒負(fù)，義域內(nèi)恒正或恒負(fù)，則可運(yùn)用均值不等式來(lái)求最值。則可運(yùn)用均值不等式來(lái)求最值。00??mA例：求函數(shù)的最小值。)01(112???????axxxaxy且解：1)1(11112??????????????xaaaxxxa

4、xaxxxaxy同時(shí)除以同時(shí)除以abab得或。abba222??2??baabbaab???11例：已知abc均為，求證：。cbaaccbba?????222證明：均為正數(shù)，，cba?acaccbcbbaba???????222222cbaaccbbaaccbba????????????)2()2()2(222總之，均值不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它是求多項(xiàng)式的最值以及函數(shù)的值域的常用方法。在應(yīng)用均值不等式時(shí)，不論怎樣變形，均需滿足

5、“一正二定三相等”的條件?！眷柟叹毩?xí)鞏固練習(xí)】1、若求函數(shù)最值。答案：00??babaxxy??2ababyababy22maxmin???2、求函數(shù)的值域。答案：[3，0])0(132????xxxxy3、已知正數(shù)滿足求的最小值。答案：yx12??yxyx11?223?4、已知為正數(shù)，且，求的最小值。答案：zyx2???zyx2111???yxS295、若，求的最小值。答案：)0](1[??abaxxbxaby???)1(a6、設(shè)為整