基本不等式及其應(yīng)用

1、1基本不等式及其應(yīng)用基本不等式及其應(yīng)用1基本不等式≤aba＋b2(1)基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0；(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)2幾個(gè)重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同號(hào))baab(3)ab≤2(a，b∈R)；(4)≥2(a，b∈R)(a＋b2)a2＋b22(a＋b2)以上不等式等號(hào)成立的條件均為a＝b.3算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)(1)設(shè)a≥0，b≥0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為

2、，幾何平均數(shù)為.a＋b2ab(2)基本不等式可敘述為兩個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)；也可以敘述為兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們正的等比中項(xiàng)4利用基本不等式求最值問(wèn)題已知x0，y0，則(1)若x＋y＝s(和為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy取得最大值；s24(2)若xy＝p(積為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y取得最小值2.p選擇題：選擇題：設(shè)x0，y0，且x＋y＝18，則xy的最大值為()A80B77C81D82解析∵x0，y0，

3、∴≥，即xy≤()2＝81，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝9時(shí)，(xy)max＝81x＋y2xyx＋y23解析由2x－3＝()y得x＋y＝3，＋＝(x＋y)(＋)＝(1＋m＋＋)≥(1＋m＋2)，(當(dāng)且僅121xmy131xmy13yxmxy13m當(dāng)＝時(shí)取等號(hào))，∴(1＋m＋2)＝3，解得m＝4yxmxy13m已知直線ax＋by＋c－1＝0(b，c0)經(jīng)過(guò)圓x2＋y2－2y－5＝0的圓心，則＋的最小值是()4b1cA9B8C4D2解析圓x2＋y2－2

4、y－5＝0化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得x2＋(y－1)2＝6，∴圓心為C(01)∵直線ax＋by＋c－1＝0經(jīng)過(guò)圓心C，∴a0＋b1＋c－1＝0，即b＋c＝1∴＋＝(b＋c)(＋)＝＋＋54b1c4b1c4cbbc∵b，c0，∴＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)等號(hào)成立4cbbc4cbbc4cbbc由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝，c＝時(shí)，＋取得最小值923134b1c已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an滿(mǎn)足a7＝a6＋2a5，若存在兩項(xiàng)am，an使得＝4a

5、1，則＋的aman1m4n最小值為()A.B.C.D.325394256解析由各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an滿(mǎn)足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，∴q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)∵＝4a1，∴qm＋n－2＝16，∴2m＋n－2＝24，∴m＋n＝6aman∴＋＝(m＋n)(＋)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝1m4n161m4n16nm4mn16nm4mn32當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)，等號(hào)成立，故＋的最小值等于nm4mn1