7.1多元函數(shù)的概念

1、,,,,,,,,,多元函數(shù)的基本概念(52),3,鄰域:,,,7.1.1 多元函數(shù)的定義,去心鄰域:,多元函數(shù)的基本概念(52),4,區(qū)域：,,例如，,即為開集．,,多元函數(shù)的基本概念(52),5,,,,,,,,兩點，都可用折線連結(jié)起來，且該,多元函數(shù)的基本概念(52),6,連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域．,例如，,例如，,,,,多元函數(shù)的基本概念(52),7,,有界閉區(qū)域；,,無界開區(qū)域．,例如，,,,多元函數(shù)的基本概念(52),8,聚

2、點：,? 內(nèi)點一定是聚點；,說明,? 邊界點可能是聚點；,例,也是聚點．孤立點是邊界點但不是聚點.,(0,0)既是邊界點,注意：對平面有理點集E，平面上的任何點都是E的邊界點、聚點，但非 孤立點.,多元函數(shù)的基本概念(52),9,? 點集E的聚點可以屬于E，也可以不屬于E．,例如,,(0,0) 是聚點但不屬于集合E;,E 的邊界,上的點都是E的聚點，也都屬于集合E．,多元函數(shù)的基本概念(52),10,n維空間：,? n維空間的記

3、號為,說明：,? n維空間中兩點間距離公式：,多元函數(shù)的基本概念(52),11,? n維空間中鄰域、區(qū)域等概念：,特殊地當(dāng) 時，便為數(shù)軸、平面、空間兩點間的距離；,內(nèi)點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念類似．,鄰域：,設(shè)兩點為,多元函數(shù)的基本概念(52),12,二元函數(shù)：,,,類似地，可定義n元函數(shù):,多元函數(shù)的基本概念(52),13,例1 求

4、 的定義域．,解,所求定義域為,多元函數(shù)的基本概念(52),14,二元函數(shù)的幾何意義：,（如下圖所示）,多元函數(shù)的基本概念(52),15,二元函數(shù)的圖形通常是一個張在區(qū)域D上的曲面.,多元函數(shù)的基本概念(52),16,又如函數(shù),如函數(shù) 的圖形.,的圖形（多值函數(shù)）.,單值分支:,多元函數(shù)的基本概念(52),17,7.1.2 多元函數(shù)的極限,多元函

5、數(shù)的基本概念(52),18,多元函數(shù)的基本概念(52),19,注意：,（1）定義中 的方式是任意的；,（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限,（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似．,多元函數(shù)的基本概念(52),20,例2 證,證,當(dāng) 時，,故結(jié)論成立．,多元函數(shù)的基本概念(52)

6、,21,例3 求極限,解,其中,多元函數(shù)的基本概念(52),22,例4 證明 不存在．,證,取,其值隨k的不同而變化，,故極限不存在．,多元函數(shù)的基本概念(52),23,不存在.,觀察,播放,多元函數(shù)的基本概念(52),24,不存在.,觀察,多元函數(shù)的基本概念(52),25,觀察,不存在.,多元函數(shù)的基本概念(52),26,觀察,不存在.,多元函數(shù)的基本概念(52),27,觀察,不存在.

7、,多元函數(shù)的基本概念(52),28,觀察,不存在.,多元函數(shù)的基本概念(52),29,觀察,不存在.,多元函數(shù)的基本概念(52),30,觀察,不存在.,多元函數(shù)的基本概念(52),31,觀察,不存在.,多元函數(shù)的基本概念(52),32,觀察,不存在.,多元函數(shù)的基本概念(52),33,觀察,不存在.,多元函數(shù)的基本概念(52),34,觀察,不存在.,多元函數(shù)的基本概念(52),35,觀察,不存在.,多元函數(shù)的基本概念(52),36,不存

8、在.,觀察,播放,多元函數(shù)的基本概念(52),37,確定極限不存在的方法：,多元函數(shù)的基本概念(52),38,多元函數(shù)的基本概念(52),39,多元函數(shù)的基本概念(52),40,7.1.3 多元函數(shù)的連續(xù)性,多元函數(shù)的基本概念(52),41,解,取,多元函數(shù)的基本概念(52),42,故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).,當(dāng) 時,,多元函數(shù)的基本概念(52),43,例6 討論函數(shù),在

9、(0,0)的連續(xù)性．,解,取 ，則,其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在,(0,0)處不連續(xù)．,多元函數(shù)的基本概念(52),44,閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：,在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．,在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．,（1）最值定理,（2）介值定理,多元函數(shù)的基本概念(5

10、2),45,由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的函數(shù)稱之.,一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．,(定義區(qū)域指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域．),多元初等函數(shù)：,多元初等函數(shù)的連續(xù)性：,多元函數(shù)的基本概念(52),46,例７,解,多元函數(shù)的基本概念(52),47,多元函數(shù)極限的概念,多元函數(shù)連續(xù)的概念,閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),（注意趨近方式的任意性）,7.1.4 小結(jié)與思考題,多元函數(shù)的定義,多元函數(shù)的基本概念(