02 第二節(jié) 多元函數(shù)的基本概念

1、第二節(jié)多元函數(shù)的基本概念分布圖示分布圖示★領(lǐng)域★平面區(qū)域的概念★二元函數(shù)的概念★例1★例2★例3★二元函數(shù)的圖形★二元函數(shù)的極限★例4★例5★例6★例7★例8★例9★例10★二元函數(shù)的連續(xù)性★例11★二元初等函數(shù)★例1213★閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)★內(nèi)容小結(jié)★課堂練習(xí)★習(xí)題62內(nèi)容提要內(nèi)容提要一、一、平面區(qū)域的概念平面區(qū)域的概念：內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)、開集、連通集、區(qū)域、閉區(qū)域二、二、二元函數(shù)的概念二元函數(shù)的概念定義定義1設(shè)D是平面上的一

2、個(gè)非空點(diǎn)集，如果對(duì)于內(nèi)的任一點(diǎn)，按照某種法D)(yx則，都有唯一確定的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱是上的二元函數(shù)，它在處的函數(shù)fzfD)(yx值記為，即，其中x，y稱為自變量自變量，z稱為因變量因變量.點(diǎn)集D稱為該函數(shù))(yxf)(yxfz?的定義域定義域，數(shù)集稱為該函數(shù)的值域值域.)()(|Dyxyxfzz??類似地，可定義三元及三元以上函數(shù).當(dāng)時(shí)n元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)多元函數(shù).2?n二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)的幾何意義三、三、二元函數(shù)的極限二

3、元函數(shù)的極限定義定義2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)點(diǎn))(yxfz?)(000yxP無(wú)限趨于點(diǎn)時(shí)，函數(shù)無(wú)限趨于一個(gè)常數(shù)，則稱A為函數(shù))(yxP)(000yxP)(yxfA當(dāng)時(shí)的極限.記為)(yxfz?)(yx)(00yx?.Ayxfyyxx???)(lim00或（）Ayxf?)()()(00yxyx?也記作或APfPP??)(lim0APf?)()(0PP?二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限具有相同的性質(zhì)和運(yùn)算法則，在此不再詳述.

4、為了所求定義域?yàn)?42|)(222yxyxyxD?????例3（E03）已知函數(shù)求.)(2222yxyxyxyxf?????)(yxf解設(shè)則yxu??yxv??2vux??2vuy??故得)(vuf22222222???????????????????????????????vuvuvuvu222vuuv??即有.2)(22yxxyyxf??二元函數(shù)的極限二元函數(shù)的極限例4（E04）求極限.2222001sin)(limyxyxyx??

5、??解令則22yxu??=0.uuyxyxuyx1sinlim1sin)(lim0222200??????例5求極限.)sin(lim22200yxyxyx???解其中22200)sin(limyxyxyx???)sin(lim2222200yxyxyxyxyx?????yxyxyx2200)sin(lim??yxu2?uuusinlim0?1?222yxyx?xyxxy???22221x21?00?????x所以.0)sin(lim2