02固體力學的基本概念

1、,第二章 固體力學的基本概念,主講老師：歐陽輝,一. 外力,體力、面力,（材力：集中力、分布力。）,(1) 體力,—— 彈性體內單位體積上所受的外力,—— 體力分布集度,（矢量）,說明：,(1) f 是坐標的連續(xù)分布函數(shù)；,(2) f 的加載方式是任意的 (如：重力，磁場力、慣性力等),§2-1 外力、內力及截面法,為體力矢量在坐標軸上的投影,體力還可以用單位質量上的體力來表示,ρ表示物體的密度，X,Y,Z為F在坐

2、標上的 投影；i ,j, k為沿坐標軸正向的單位矢量。,體力可以用單位體積的體力表示；也可以 用單位質量的體力來表示,(2) 面力,—— 作用于物體表面單位面積上的外力,,,,—— 面力分布集度（矢量）,—— 面力矢量在坐標軸上投影,單位：,1N/m2 =1Pa (帕),1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕),說明：,(1) F 是坐標的連續(xù)分布函數(shù)；,(2) F 的加載方式是任意的;,,(3)

3、 的正負號由坐標方向確定。,,緒 論,,,二.內力、截面法,外力作用引起構件內部的附加相互作用力。,求內力的方法－－截面法,1、截開,2、代替,3、平衡,內力,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,截面法,·,求內

4、力,內力的計算是分析構件強度、剛度、穩(wěn)定性等問題的基礎。求內力的一般方法是截面法。,截面法的基本步驟：,①,截開,：在所求內力的截面處，假想地用截面將桿件一分為二。,②代替,：任取一部分，其棄去部分對留下部分的作用，用作用在截開面上相應的內力（力或力偶）代替。,③平衡,：對留下的部分建立平衡方程，根據(jù)其上的已知外力來計算桿在截開面上的未知內力（此時截開面上的內力對所留部分而言是外力）。,組合受力（Combined Loading）與變形

5、,§2-2.桿件變形的基本形式和內力,拉壓,,,,§2-2-1. 軸向拉壓的概念及實例,軸向拉壓的外力特點：外力的合力作用線與桿的軸線重合。,一、概念,軸向拉壓的變形特點：桿的變形主要是軸向伸縮，伴隨橫向 縮擴。,軸向拉伸：桿的變形是軸向伸長，橫向縮短。,軸向壓縮：桿的變形是軸向縮短，橫向變粗。,,拉壓,,,,軸向壓縮，對應的力稱為

6、壓力。,軸向拉伸，對應的力稱為拉力。,力學模型如圖,拉壓,,,,二.工程實例,拉壓,,,,,拉壓,,,,,內力指由外力作用所引起的、物體內相鄰部分之間分布內力系的合成（附加內力）。 內力的計算是分析構件強度、剛度、穩(wěn)定性等問題的基礎。求內力的一般方法是截面法。,三. 軸向拉壓橫截面上的內力 · 軸力及軸力圖,,拉壓,,,,,2. 軸力——軸向拉壓桿的內力，用N 表示。,例如： 截面法求FN （N）。,,截開：,代

7、替：,平衡：,,①反映出軸力與截面位置變化關系，較直觀；②確定出最大軸力的數(shù)值及其所在橫截面的位置，即確定危險截面位置，為強度計算提供依據(jù)。,拉壓,,,,3、 軸力圖—— N (x) 的圖象表示。,軸力的正負規(guī)定:,N 與外法線同向,為正軸力(拉力),N與外法線反向,為負軸力(壓力),,,N,x,,P,意義,拉壓,,,,[例1] 圖示桿的A、B、C、D點分別作用著大小為5P、8P、4P、 P 的力，方

8、向如圖，試畫出桿的軸力圖。,解： 求OA段內力N1：設置截面如圖,,,,拉壓,,,,同理，求得AB、BC、CD段內力分別為：,N2= –3PN3= 5PN4= P,軸力圖如右圖,,,D,PD,,,,,,N,x,,,,,2P,3P,5P,P,拉壓,,,,軸力(圖)的簡便求法： 自左向右:,軸力圖的特點：突變值 = 集中載荷,遇到向左的P?， 軸力N 增量為正；遇到向右的P? ， 軸力N 增量為負。,,,3kN,5kN,,,8kN,

9、一、連接件的受力特點和變形特點：,1、連接件,剪切,,,,在構件連接處起連接作用的部件，稱為連接件。例如：螺栓、鉚釘、鍵等。連接件雖小，起著傳遞載荷的作用。,,,特點：可傳遞一般 力， 可拆卸。,,螺栓,§2-2-２. 剪切的概念及實例,,,剪切,,,,,鉚釘,特點：可傳遞一般 力，不可拆卸。如橋梁桁架結點處于它連接。,,無間隙,特點：傳遞扭矩。,2、受力特點和變形特點：,剪切,,,,以鉚釘為例：

10、,①受力特點： 構件受兩組大小相等、方向相反、作用線相互很近（差一個幾何平面）的平行力系作用。,②變形特點： 構件沿兩組平行力系的交界面發(fā)生相對錯動。,剪切,,,,③剪切面： 構件將發(fā)生相互的錯動面，如n– n 。,④剪切面上的內力： 內力 — 剪力Q ，其作用線與剪切面平行。,扭轉,,,,§2-2-３扭轉,軸：工程中以扭轉為主要變形的構件。如：機器中的傳動軸、

11、 石油鉆機中的鉆桿等。,扭轉：外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線 垂直，桿發(fā)生的變形為扭轉變形。,,扭轉,,,,扭轉角（?）：任意兩截面繞軸線轉動而發(fā)生的角位移。剪應變（?）：直角的改變量。,扭轉,,,,工 程 實 例,扭轉,,,,一、傳動軸的外力偶矩 傳遞軸的傳遞功率、轉速與外力偶矩的關系：,其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 轉速，轉/分（r

12、pm）,其中：P — 功率，馬力（PS） n — 轉速，轉/分（rpm）,其中：P — 功率，馬力（HP） n — 轉速，轉/分（rpm）,1PS=735.5N·m/s , 1HP=745.7N·m/s , 1kW=1.36PS,,3 扭矩的符號規(guī)定： “T”的轉向與截面外法線方向滿足右手螺旋規(guī)則為正，反之為負。,扭轉,,,,二、扭矩及扭矩圖 1

13、 扭矩：構件受扭時，橫截面上的內力偶矩，記作“T”。 2 截面法求扭矩,扭轉,,,,4 扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。,目 的,,,,,,,,,,,,,,,x,T,?,扭轉,,,,[例1]已知：一傳動軸， n =300r/min，主動輪輸入 P1=500kW，從動輪輸出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試繪制扭矩圖。,解：①計算外力偶矩,扭轉,,,,②求扭矩（扭矩按

14、正方向設）,扭轉,,,,③繪制扭矩圖,BC段為危險截面。,,,x,T,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4.78,9.56,6.37,?,彎曲內力,,,,§2-2-４ 平面彎曲,一、彎曲的概念,1. 彎曲: 桿受垂直于軸線的外力或外力偶矩矢的作用時,軸 線變成了曲線，這種變形稱為彎曲。,2. 梁：以彎曲變形為主的 構件通常稱為梁。,,,,,3. 工程實例,彎曲內力,,,,彎曲內力,,,

15、,彎曲內力,4. 平面彎曲：桿發(fā)生彎曲變形后，軸線仍然和外力在同一 平面內(縱向對稱面 、載荷作用面、曲撓面重合）。,對稱彎曲（如下圖）—— 平面彎曲的特例。,,,,,彎曲內力,非對稱彎曲—— 若梁不具有縱對稱面，或者，梁雖具有縱 對稱面但外力并不作用在對稱面內，這種 彎曲則統(tǒng)稱為非對稱彎曲。,,,,,彎曲內力,,二、梁的計算簡圖,梁的支承條件與載荷情況一般都比較復

16、雜，為了便于分析計算，應進行必要的簡化，抽象出計算簡圖。,1. 構件本身的簡化 通常取梁的軸線來代替梁。,2. 載荷簡化 作用于梁上的載荷（包括支座反力）可簡化為三種類型：集中力、集中力偶和分布載荷。,3. 支座簡化,,,,彎曲內力,,①固定鉸支座 2個約束，1個自由度。如：橋梁下的固定支座，止推滾珠軸承等。,②可動鉸支座 1個約束，2個自由度。如：橋梁下的輥軸支

17、座，滾珠軸承等。,,,,彎曲內力,,③固定端 3個約束，0個自由度。如：游泳池的跳水板支座，木樁下端的支座等。,4. 梁的三種基本形式,①簡支梁,,②懸臂梁,,,,彎曲內力,,③外伸梁,,,5. 靜定梁與超靜定梁,靜定梁：由靜力學方程可求出支反力，如上述三種基本 形式的靜定梁。超靜定梁：由靜力學方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。

18、,,,,三、彎曲內力：,彎曲內力,,[舉例]已知：如圖，P，a，l。 求：距A端x處截面上內力。,,,,l,,A,A,B,B,解：①求外力,,,,,彎曲內力,②求內力——截面法,,A,,Q,,M,,,M,,Q,∴ 彎曲構件內力,1. 彎矩：M 構件受彎時，橫截面上其作用面垂直于截面的內力偶矩。,C,C,,,,彎曲內力,2. 剪力：Q 構件受彎時，橫截面上其作用線平行于截面的內力。,3.內力的正負規(guī)定:,

19、①剪力Q: 繞研究對象順時針轉為正剪力；反之為負。,②彎矩M：使梁變成凹形的為正彎矩；使梁變成凸形的為負彎矩。,,Q(+),,,Q(–),Q(–),Q(+),,,M(+),M(+),,M(–),M(–),,,,,[例2]：求圖（a）所示梁1--1、2--2截面處的內力。,,解：截面法求內力。 1--1截面處截取的分離體 如圖（b）示。,圖（a）,四、例題,,Q1,A,,M1,圖（b）,彎曲內力,,,,2--2截面處截取

20、的分離體如圖（c）,圖（a）,q,,Q2,B,,M2,彎曲內力,圖（c）,,,,,一．應力的概念,,１.內力大小不能衡量構件強度的大小。,,２.強度：①內力在截面分布集度－－應力；,②材料承受荷載的能力。,定義：,由外力引起的內力分布狀況及其集度。,§2-３ 應力,問題的提出：,工程構件，大多數(shù)情形下，內力并非均勻分布，集度的定義不僅準確而且重要，因為“破壞”或“失效”往往從內力集度最大處開始。,σ—N/m­2 (

21、pa ) τ—N/m­2 國際單位制： 1k pa = 103Pa 1MPa=106Pa工程單位制：Kgf/cm2,拉壓,,,,變形前,1. 變形規(guī)律試驗及平面假設：,平面假設：原為平面的橫截面在變形后仍為平面。 縱向纖維變形相同。,,受載后,二、拉（壓）桿橫截面上的應力,拉壓,,,,均勻材料、均勻變形，內力當然均勻分布。,2. 拉伸應力：,,,,,軸力引起的正應力

22、—— ? ： 在橫截面上均布。,危險截面：內力最大的面，截面尺寸最小的面。危險點：應力最大的點。,3. 危險截面及最大工作應力：,拉壓,,,,三、拉(壓)桿斜截面上的應力,設有一等直桿受拉力P作用。求：斜截面k-k上的應力。,解：采用截面法由平衡方程：Pa=P,則：,Aa：斜截面面積；Pa：斜截面上內力。,由幾何關系：,代入上式，得：,斜截面上全應力：,拉壓,,,,斜截面上全應力：,Pa,,,分解：,反映：通過構件上一點不同截

23、面上應力變化情況。,當? = 90°時，,當? = 0,90°時，,2、單元體：?單元體—構件內的點的代表物，是包圍被研究點的 無限小的幾何體，常用的是正六面體。 ?單元體的性質—a、平行面上，應力均布； b、平行面上，應力相等。,3、拉壓桿內一點M 的應力單元體:,1.一點的應力狀態(tài)：過一點有無數(shù)的截面，這一點的各

24、個截面 上的應力情況，稱為這點的應力狀態(tài)。,補充：,拉壓,,,,,,取分離體如圖3， a 逆時針為正； t a 繞研究對象順時針轉為正；由分離體平衡得：,拉壓,,,,4、拉壓桿斜截面上的應力,,,扭轉,,,,四. 薄壁圓筒扭轉時的應力,（一）、實驗：,1.實驗前：,①繪縱向線，圓周線；②施加一對外力偶 m。,,扭轉,,,,2.實驗后：,①圓周線不變；②縱向線變成斜直線。,3.結論：①圓筒表面的各圓

25、周線的形狀、大小和間距均未改 變，只是繞軸線作了相對轉動。 ②各縱向線均傾斜了同一微小角度 ? 。 ③所有矩形網格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。,扭轉,,,,①無正應力 ②橫截面上各點處，只產生垂直于半徑的均勻分布的剪應力? ，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。,微小矩形單元體如圖所示：,扭轉,,,,（二）、薄壁圓筒

26、剪應力? 大?。?,A0：平均半徑所作圓的面積。,扭轉,,,,（三）、剪應力互等定理：,,上式稱為剪應力互等定理。 該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。,扭轉,,,,,單元體的四個側面上只有剪應力而無正應力作用，這種應力狀態(tài)稱為純剪切應力狀態(tài)。,§2-４ 應變與變形,一．應變的概念,變形體在外力的作用下，不僅產生應

27、力，同時還發(fā)生變形。與正應力和剪應力相對應，變形體有兩個基本變形特征值：正應變和剪應變。,正應變ε,剪應變γ,二、 應變,變形,物體受力后幾何形狀或尺寸的改變,一般地，一點的應變可由考查該點附近小單元體的變形而定義。變形包括單元體尺寸和形狀二種改變。,,過A點沿坐標方向線段的尺寸改變,線應變?,線應變(正應變)、剪應變(切應變)所反映的變形特征分別與正應力和剪應力的作用相對應。,,過A點直角形狀的改變,剪應變?,1、桿的縱向總變形：,3

28、、平均線應變：,2、線應變：單位長度的線變形。,一、拉壓桿的變形及應變,§2－4－1 直桿的軸向拉壓變形,拉壓,,,,,,,,,,,4、x點處的縱向線應變：,6、x點處的橫向線應變：,5、桿的橫向變形：,拉壓,,,,,,,,,,L1,二、拉壓桿的彈性定律,,1、等內力拉壓桿的彈性定律,2、變內力拉壓桿的彈性定律,內力在n段中分別為常量時,※“EA”稱為桿的抗拉壓剛度。,拉壓,,,,3、單向應力狀態(tài)下的彈性定律,4、泊松比（或

29、橫向變形系數(shù)）,拉壓,,,,三、是誰首先提出彈性定律 彈性定律是材料力學等固體力學一個非常重要的基礎。一般認為它是由英國科學家胡克(1635一1703)首先提出來的，所以通常叫做胡克定律。其實，在胡克之前1500年，我國早就有了關于力和變形成正比關系的記載。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,東漢經學家鄭玄(127—200)對《考工記

30、·弓人》中“量其力，有三均”作了 這樣的注釋：“假令弓力勝三石，引之中三尺，弛其弦，以繩緩擐之，每加物一石，則張一尺。” (圖),拉壓,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,補充題：圖示為一變截面圓桿ABCD。已知P1=20KN， P2=35KN，P3=35KN。l1=l3=300mm，l2=400mm。 d1=12m

31、m，d2=16mm，d3=24mm。試求：,(1) 1—1，11—11，111—111截面的軸力，作軸力圖,(2) 桿的最大正應力?max,(3) B截面的位移及AD桿的變形,解：求支座反力 R = -50KN,(1) 1—1，11—11，111—111截面的軸力，作軸力圖。,-N1+P1=0,N1= 20KN （+）,-N2+P1-P2=0,N2= -15KN （-）,N3-R=0,N3=R= - 50KN （-）,

32、(2) 桿的最大正應力?max,AB段：,DC段：,BC段：,?max = 176.8MPa 發(fā)生在AB段。,(3) B截面的位移及AD桿的變形,AB段：,BC段：,CD段：,(3) B截面的位移及AD桿的變形,,補充題 ： 一等直桿受自重及集中力P作用。桿的長度為l，橫截面面積為A，材料的容重為?，彈性模量為E，許用應力為[?]。試分析桿的自重對強度的影響，并求桿的伸長。,解：,N(x)=P+ ?Ax,Nmax=P+ ?Al,

33、Nmax=P+ ?Al,強度條件為,或,可見，若桿的 ?l 與材料的[?]相比很小，則桿的自重影響很小，可略去不計。,,,,,W= ?Al 為桿的自重,§2－4－1 薄壁圓筒的扭轉變形,①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對轉動。 ②各縱向線均傾斜了同一微小角度 ? 。 ③所有矩形網格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。,? 與 ? 的關系：,4. ? 與 ? 的關系：,此為薄壁圓筒扭轉時剪應變?

34、與扭轉角? 的關系由試驗測定扭轉角? 后,剪應變? 也可求出.,薄壁圓筒的扭轉 試驗發(fā)現(xiàn)，當外力偶 m 在某一范圍內時， φ與 m （在數(shù)值上等于 T ）成正比。,由? 、?、? 間的線性關系，可推出,,(a),,該式稱為材料的 剪切胡克定律,G 稱為材料的 剪切彈性模量 。其單位是 Pa。,一、試驗條件及試驗儀器,1、試驗條件：常溫(20℃)；靜載（及其緩慢地加載）； 標準試件。,拉壓,,,,力學性能：材料

35、在外力作用下表現(xiàn)的有關強度、變形方面的特性。,,§2－5 應力和應變的關系,2、試驗儀器：萬能材料試驗機；變形儀（常用引伸儀）。,拉壓,,,,二、低碳鋼試件的拉伸圖(P-- ?L圖),,三、低碳鋼試件的應力--應變曲線(? --? 圖),拉壓,,,,(一) 低碳鋼拉伸的彈性階段 (oe段),1、op -- 比例段: ?p -- 比例極限,2、pe --曲線段: ?e -- 彈性極限,拉壓,,,,泊松比（或橫向變形

36、系數(shù)）,試驗證明.在彈性范圍內,同一材料的橫向應變ε’與軸向應變ε之比的絕對值是一個常數(shù).,(二) 低碳鋼拉伸的屈服(流動）階段 (es 段),e s --屈服段: ?s ---屈服極限,滑移線：,塑性材料的失效應力:?s 。,拉壓,,,,２、卸載定律：,１、?ｂ---強度極限,３、冷作硬化：,４、冷拉時效：,(三)、低碳鋼拉伸的強化階段 (ｓｂ 段),拉壓,,,,(四)、低碳鋼拉伸的頸縮（斷裂）階段 (b f 段),拉壓,,,,1、延

37、伸率:?,2、面縮率：?,3、脆性、塑性及相對性,四、無明顯屈服現(xiàn)象的塑性材料,,,0.2,s 0.2,名義屈服應力: ? 0.2 ，即此類材料的失效應力。,五、鑄鐵拉伸時的機械性能,?ｂL ---鑄鐵拉伸強度極限（失效應力）,拉壓,,,,扭轉,,,,,,,T=m,?,,,,剪切虎克定律：當剪應力不超過材料的剪切比例極限時（τ ≤τp)，剪應力與剪應變成正比關系。,一、彈性應變能：桿件發(fā)生彈性變形，外力功轉變?yōu)樽冃文苜A存 于桿

38、內，這種能成為應變能（Strain Energy）用“U”表 示。,二、 拉壓桿的應變能計算： 不計能量損耗時，外力功等于應變能。,內力為分段常量時,拉壓,,,,§2－5 應變能,三、 拉壓桿的比能 u： 單位體積內的應變能。,拉壓,,,,四. 等直圓桿在扭轉時的應變能,單位體積內的剪切應變能稱為剪切應變能密度,扭轉,,,,四. 等直圓桿在扭轉時的應變能,剪切應變能與能