腫瘤浸潤趨化趨觸性模型的分析與模擬.pdf

1、近年來，人們對于腫瘤浸潤數(shù)學模型的研究興趣逐年增加(參看文獻[7-8，16，18，33，37，40-43，47])，特別是在文獻[7]中，Chaplain和Lolas(2005)發(fā)展了新的腫瘤浸潤數(shù)學模型，該模型是關于尿激酶型血纖維蛋白溶酶催化劑(uPA)系統(tǒng)(該系統(tǒng)中含有不同種類的降解酶催化劑)及其在腫瘤浸潤生物組織中所起的作用。我們知道，腫瘤浸潤的發(fā)生是與腫瘤細胞分泌的基質降解酶(MDEs)對細胞外基質(ECM)的降解有緊密關系的。

2、然而，在Chaplain和Lolas模型中，除了腫瘤細胞的隨機運動之外，腫瘤細胞的轉移還與兩種細胞運動機制有關，即：chemotaxis(趨化性機制)：細胞傾向于向可擴散的基質降解酶(MDE)的濃度變大的地方運動和haptotaxis(趨觸性機制)：細胞傾向于不擴散的基質密度增大的地方運動。實際上，早在1970年Keller和Segel就已經提出了古典的chemotaxis模型，Chaplain和Lolas模型是Keller和Segel

3、提出的古典的chemotaxis模型的擴展。由此可知，Chaplain和Lolas發(fā)展了古典的chemotaxis模型，本文稱之為：chemotaxis-haptotaxis模型，該模型描述了腫瘤細胞、基質降解酶和細胞外基質之間相互作用的動力學。本文主要是研究Chaplain和Lolas模型及其子模型的解的定性性質。
　　 首先，本文研究拋物-橢圓chemotaxis-haptotaxis模型。該模型是一個3×3拋物-常微-橢圓

4、chemotaxis-haptotaxis系統(tǒng)，即這個模型是由三個方程組成：一個方程是拋物型偏微分方程，它描述了腫瘤細胞密度在chemotaxis和haptotaxis的機制下的動力學；一個方程是橢圓型偏微分方程，它描述了蛋白水解酶濃度的動力學；還有一個方程是常微分方程，它描述了細胞外基質密度在蛋白酶水解作用下的動力學。在三維空間，當μ>0(μ是腫瘤細胞的logistic增長率)充分大時，通過從L1(Ω)到L2(Q)再到L4(Ω)來抬高

5、解的先驗估計的正則性，我們證明了該系統(tǒng)的全局古典解的存在性、唯一性和一致有界性；在二維空間，通過L1(Ω)→L2(QT)→L2(Ω)→L4(QT)→L2(Ω)的新的Lp估計技術，抬高解的先驗估計的正則性，我們證明了，對于任何μ>0，該系統(tǒng)解的存在性、唯一性和有界性。在研究中，我們發(fā)展了一些新的Lp估計技術。以上提到的Ω()Rd(d=2或3)是一有界區(qū)域，而QT=Ω×(0，T)。
　　 接下來，我們研究了拋物一拋物chemotax

6、is-haptotaxis模型。該模型是一個3×3拋物-常微-拋物系統(tǒng)，也由三個方程組成：一個方程是描述腫瘤細胞密度變化的反應-擴散-趨化趨觸性拋物型偏微分方程；另一個方程是描述蛋白水解酶濃度變化的反應-擴散拋物型偏微分方程；還有一個常微分方程描述的是細胞外基質密度在蛋白酶水解作用下的變化。對于該模型，我們做了以下研究工作：在一維空間，對任何chemotaxis系數(shù)x>0，我們證明了組合的chemotaxis-haptotaxis模型古

7、典解的整體存在性和唯一性。在三維空間，當μ>0充分大時(其中，μ是腫瘤細胞的logistic的增長率)，我們證明了該模型解的整體存在性。而對于二維空間，對于任意的μ>0，該模型的整體解均存在(證明已經在文獻中給出)。此模型證明的關鍵點是要從L1到Lp(p>3)抬高解的正則性。
　　 同時，我們還要特別指出的是：對于3×3拋物-常微-橢圓的腫瘤浸潤chemotaxis-haptotaxis系統(tǒng)的研究方法是有別于3×3拋物-常微-拋

8、物的腫瘤浸潤chemotaxis-haptotaxis系統(tǒng)的。它們之間有兩個主要的區(qū)別：首先，前者的解比后者的解關于時間t有更弱的正則性，這是由于前者含chemotaxis因子項受到一個橢圓方程的控制。因此，在證明拋物-常微-橢圓系統(tǒng)的古典解的局部存在性時，有別于拋物-常微-拋物系統(tǒng)的證明，我們需要仔細地選擇映射空間XM和映射函數(shù)F。其次，文獻和本文對于證明古典解的整體存在性的基本思想都是抬高解的估計的正則性。但是，本文的拋物-常微-橢

9、圓系統(tǒng)是從L1(Ω)到L3(Ω)抬高解的正則估計，而文獻[42]是從L1(Ω)到L3(Ω×(0，T)抬高解的正則估計。本文的拋物-常微-拋物系統(tǒng)和拋物-常微-橢圓系統(tǒng)以及文獻[42]中的Lp估計技術也是各不相同的。除了在上面提到的假設條件下解的整體存在以外，對于拋物-常微-橢圓系統(tǒng)，在同樣的假設條件下還證明解是一致有界的。當然，我們應該指出：關于文獻[42]和本文的拋物-常微-拋物系統(tǒng)的解的有界性仍然是有待解決的問題。
　　 最

10、后，我們要對簡化的chemotaxis-haptotaxis模型的爆破性進行了數(shù)值模擬分析。從上面的證明結論我們知道，在三維空間，對于充分大的μ>0，該模型是存在全局古典解的；而當μ>0充分小時，模型的整體解是否存在，據我們所知，到目前為止，在理論上仍然沒有證明。但是，利用隱式有限差分格式對簡化了的chemotaxis-haptotaxis模型進行數(shù)值模擬的過程中，我們發(fā)現(xiàn)對于充分小的μ>0，該系統(tǒng)模型的解存在爆破的現(xiàn)象。