一類雙穩(wěn)型趨化—擴(kuò)散—增長(zhǎng)模型的斑圖.pdf

1、本文主要研究如下帶雙穩(wěn)型源項(xiàng)Keller-Segel模型{Ut=a▽2U-b▽(U▽V)+kU(1-U)(U-h)，Vt=d▽2V+fU-gV在d-維方體Td=（0，π）d(d=1，2，3)上滿足齊次Neumann邊界條件時(shí)的不穩(wěn)定常數(shù)平衡解附近的非線性動(dòng)力學(xué)行為.證明對(duì)于任意給定一般擾動(dòng)的δ，在一個(gè)以ln1/δ為階的時(shí)間周期內(nèi)，它的非線性演化由相應(yīng)的線性化模型的有限個(gè)最快增長(zhǎng)模式所控制.當(dāng)δ→0時(shí)產(chǎn)生非線性不穩(wěn)定性.這種不穩(wěn)定有可能在

2、爆破之前產(chǎn)生.另一方面，每一個(gè)初始擾動(dòng)所產(chǎn)生的作用一定會(huì)與其它初始擾動(dòng)所產(chǎn)生的的作用截然不同，這就導(dǎo)致了斑圖的多樣性.全文由七部分組成.
　　(1)證明常微分方程組形式的模型{dU/dt=kU(1-U)(U-h)，dV/dt=fU-gV的正平衡點(diǎn)A3=（h，fh/g）是不穩(wěn)定的.平凡平衡點(diǎn)A1=(0，0)和正平衡點(diǎn)A2=（1，f/g是局部漸近穩(wěn)定的.
　　(2)證明不帶趨化項(xiàng)的反應(yīng)擴(kuò)散模型{Ut=d1▽2U+kU(1-U)(

3、U-h),x∈Td,t＞0,Vt=d2▽2V+fU-gV.x∈Td,t＞0,(e)U/(e)xi=(e)V/(e)xi=0xi=0，π，1≤i≤d的平凡平衡點(diǎn)A1=(0，0)和正平衡點(diǎn)A2=(1，f/g)是局部漸近穩(wěn)定的，其中Td=(0，π)d(d=1，2，3).
　　(3)證明交錯(cuò)擴(kuò)散模型{Ut=d1▽2U-d3▽2V+kU(1-U)(U-h),x∈Td,t＞0,Vt=d2▽2V+fU-gV.x∈Td,t＞0,(e)U/(e)x

4、i=(e)V/(e)xi=0xi-=0，π，1≤i≤d平凡平衡點(diǎn)A1=(0，0)和正平衡點(diǎn)A2=（1，f/g)是局部漸近穩(wěn)定的，其中Td=（0，π）d(d=1，2，3).
　　(4)利用Young和Grownwall不等式研究模型(0.7)增長(zhǎng)模式.
　　(5)提出并證明Bootstrap引理.即利用偏微分方程理論得到模型(4.1)和(4.2)局部解的存在性.證明了模型(4.1)和(4.2)的解既滿足齊次Neumann邊界條

5、件也滿足周期邊界條件.
　　(6)證明本文的主要結(jié)論，即線性不穩(wěn)定性和斑圖的生成模式.設(shè)θ是一個(gè)小的固定的常數(shù)，且λmax是最大特征值.用(v)＞0表示λmax與其他特征值的最小距離，則對(duì)于任意小的δ＞0，定義逃逸時(shí)間Tδ.對(duì)于任意的ε＞0，一般擾動(dòng)的動(dòng)力學(xué)的特性是由相應(yīng)的線性動(dòng)力學(xué)在一個(gè)較長(zhǎng)的時(shí)間周期εTδ≤t≤Tδ上來(lái)刻畫的.
　　(7)利用能量估計(jì)，疊加原理，Sobolev嵌入定理，Gagliardo-Nirenber