對流擴散方程有限差分方法

1、對流擴散方程有限差分方法對流擴散方程有限差分方法求解對流擴散方程的差分格式有很多種，在本節(jié)中將介紹以下3種有限差分格式：中心差分格式、Samarskii格式、CrankNicolson型隱式差分格式。3.13.1中心差分格式中心差分格式時間導數用向前差商、空間導數用中心差商來逼近，那么就得到了（1）式的中心差分格式]6[（3）21111122huuuvhuuauunjnjnjnjnjnjnj????????????若令，，則（3）式可改

2、寫為ha???2hv???（4）)2()(2111111njnjnjnjnjnjnjuuuuuuu?????????????從上式我們看到，在新的時間層上只包含了一個未知量，它可以1?n1?nju由時間層上的值，，直接計算出來。因此，中心差分格式是求解對nnju1?njunju1?流擴散方程的顯示格式。假定是定解問題的充分光滑的解，將，，分別在)(txu1?njunju1?nju1?處進行Tayl展開：)(njtx)()()(211??

3、Otutxutxuunjnjnjnj??????????????)(2)()(322211hOxuhxuhtxutxuunjnjnjnjnj???????????????????????)(2)()(322211hOxuhxuhtxutxuunjnjnjnjnj???????????????????????代入(4)式，有21111122)(huuuvhuuauutxTnjnjnjnjnjnjnjnj?????????????)()()

4、(2222hOvxuvhOaxuaOtunjnjnj?????????????????????????????????)()()(222hOvaOxuvxuatunjnjnj????????????????????????????????3.23.2Samarskii格式格式設0，先對方程(1)作擾動，得到另一個對流擴散方程a]7[（5）2211xuvRxuatu?????????其中，當時，（5）式化為（1）式havR21?0?h對于

5、（5）式，構造迎風格式（6）21111211huuuvRhuuauunjnjnjnjnjnjnj????????????差分格式（6）稱為逼近對流擴散方程的Samarskii格式。首先推導（6）的截斷誤差。設是對流擴散方程（1）式的充分光滑)(txu的解21111)()(2)(11)()()()(htxutxutxuvRhtxutxuatxutxuTnjnjnjnjnjnjnjnj?????????????令2111)()(2)()()

6、(htxutxutxuvtxutxunjnjnjnjnjnj??????????用Tayl級數展開有)()()(222hOxuvtunjnjnj??????????再令2111)()(2)()111()()(htxutxutxuvRhtxutxuanjnjnjnjnjnj???????????用Tayl級數展開有)()(11)(2)(22222hOxuvRxuahtuanjnjnjnj????????????)()(1)()(22222