奇異攝動對流擴散問題的有限差分法.pdf

1、最高階導數(shù)項含有小參數(shù)ε的微分方程稱為奇異攝動問題，其解存在指數(shù)邊界層或內(nèi)部層.奇異攝動問題常常會在科學研究、工程實踐中碰到.例如，流體力學中的高雷諾數(shù)Navier-Stokes方程，多孔媒質(zhì)的流體方程，半導體的擴散方程，化學反應中的反應方程等等. 對于攝動系數(shù)ε比較小的情況，經(jīng)典的數(shù)值方法給不出令人滿意的數(shù)值結(jié)果.特別地，基于中心或迎風差分策略的逐點誤差在一致網(wǎng)格上是與ε的負次冪成正比的.本文根據(jù)準確解的先驗估計，合理構(gòu)造自適

2、應網(wǎng)格.在自適應網(wǎng)格上進行有限差分離散來求解奇異攝動對流擴散問題.通過建立離散算子的不同的穩(wěn)定不等式來分別進行誤差分析.理論分析顯示我們的有限差分策略是關(guān)于小參數(shù)ε一致收斂的，數(shù)值實驗表明理論結(jié)果的正確性，證實了數(shù)值方法的穩(wěn)健性. 本文的組織如下：第一章考慮一維奇異攝動對流擴散問題.首先對應用于奇異攝動問題的自適應網(wǎng)格進行了分類.其次對一維連續(xù)問題的連續(xù)算子的穩(wěn)定性、準確解的分解等有關(guān)內(nèi)容進行了討論.最后，建立了基于自適應網(wǎng)格的

3、簡單迎風差分策略，根據(jù)一階差分算子的不同的穩(wěn)定不等式，用三種方法進行了誤差分析. 第二章考慮一維奇異攝動對流擴散問題的二階差分策略.給出了在加密網(wǎng)格上使用中心差分離散，而在粗網(wǎng)格上則采用中點迎風差分格式的混合差分策咯，得到此格式在Shishkin型網(wǎng)格上是幾乎二階收斂的.本章還介紹了兩種常用的加速技巧：Richardson外推法和缺陷修正法，這兩種方法都是從低階差分策略出發(fā)進行加速來得到高階收斂策略.最后，本章考慮了對流系數(shù)不連

4、續(xù)的奇異攝動問題，這類問題由于系數(shù)的不連續(xù)性導致存在一個內(nèi)部層.在Shishkin網(wǎng)格上構(gòu)造了混合差分格式，得到幾乎二階收斂的誤差估計. 第三章考慮奇異攝動擬線性問題.在自適應網(wǎng)格上，用兩種迎風差分格式分別對擬線性問題進行離散，給出混合穩(wěn)定不等式，得到在離散最大模意義下的一致誤差估計. 第四章討論了奇異攝動對流擴散方程組問題.由于方程組的每個方程的最高階導數(shù)項各含有一個小參數(shù)，這就導致存在一個重疊的邊界層.我們分析了準確

5、解的性質(zhì)，據(jù)此構(gòu)造了分片一致的Shishkin型網(wǎng)格，并應用兩種方法分別證得迎風差分策略是一階收斂的，并且是關(guān)于兩個小參數(shù)一致收斂的. 第五章考慮一個兩維奇異攝動對流擴散問題.在自適應網(wǎng)格上構(gòu)造迎風差分格式，用兩種方法分別對差分策略進行了誤差分析. 第六章應用單調(diào)迭代法(也稱上下解法)來計算非線性差分方程組.此單調(diào)迭代法在每個迭代步只需求解一個線性方程組，并且很容易確定迭代的初始值.我們分別建立了半線性對流擴散問題和擬線