借助方程求解數(shù)軸上動點(diǎn)問題

1、借助方程求解數(shù)軸上動點(diǎn)問題借助方程求解數(shù)軸上動點(diǎn)問題湖北省黃石市下陸中學(xué)宋毓彬數(shù)軸上的動點(diǎn)問題離不開數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離。為了便于初一年級學(xué)生對這類問題的分析，不妨先明確以下幾個問題：1數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，即為這兩點(diǎn)所對應(yīng)的坐標(biāo)差的絕對值，也即用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)的差。即數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離=右邊點(diǎn)表示的數(shù)—左邊點(diǎn)表示的數(shù)。2點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動時，由于數(shù)軸向右的方向?yàn)檎较颍虼讼蛴疫\(yùn)動的速度看作正速度，而向作運(yùn)動的速度看作負(fù)速度。這樣在起

2、點(diǎn)的基礎(chǔ)上加上點(diǎn)的運(yùn)動路程就可以直接得到運(yùn)動后點(diǎn)的坐標(biāo)。即一個點(diǎn)表示的數(shù)為a，向左運(yùn)動b個單位后表示的數(shù)為a—b；向右運(yùn)動b個單位后所表示的數(shù)為ab。3數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，分析數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動形成的路徑可看作數(shù)軸上線段的和差關(guān)系。例1已知數(shù)軸上有A、B、C三點(diǎn)，分別代表—24，—10，10，兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點(diǎn)同時相向而行，甲的速度為4個單位秒。⑴問多少秒后，甲到A、B、C的距離和為40個

3、單位？⑵若乙的速度為6個單位秒，兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點(diǎn)同時相向而行，問甲、乙在數(shù)軸上的哪個點(diǎn)相遇？⑶在⑴⑵的條件下，當(dāng)甲到A、B、C的距離和為40個單位時，甲調(diào)頭返回。問甲、乙還能在數(shù)軸上相遇嗎？若能，求出相遇點(diǎn)；若不能，請說明理由。分析分析：如圖1，易求得AB=14，BC=20，AC=34⑴設(shè)x秒后，甲到A、B、C的距離和為40個單位。此時甲表示的數(shù)為—244x。①甲在AB之間時，甲到A、B的距離和為AB=14甲到C的距離

4、為10—（—244x）=34—4x依題意，14（34—4x）=40，解得x=2②甲在BC之間時，甲到B、C的距離和為BC=20，甲到A的距離為4x依題意，204x）=40，解得x=5即2秒或5秒，甲到A、B、C的距離和為40個單位。⑵是一個相向而行的相遇問題。設(shè)運(yùn)動t秒相遇。依題意有，4t6t=34，解得t=3.4相遇點(diǎn)表示的數(shù)為—2443.4=—10.4（或：10—63.4=—10.4）⑶甲到A、B、C的距離和為40個單位時，甲調(diào)頭返

5、回。而甲到A、B、C的距離和為40個單位時，即的位置有兩種情況，需分類討論。例3已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B對應(yīng)的數(shù)分別為—1，3，點(diǎn)P為數(shù)軸上一動點(diǎn)，其對應(yīng)的數(shù)為x。⑴若點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，求點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)；⑵數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和為5？若存在，請求出x的值。若不存在，請說明理由？⑶當(dāng)點(diǎn)P以每分鐘一個單位長度的速度從O點(diǎn)向左運(yùn)動時，點(diǎn)A以每分鐘5個單位長度向左運(yùn)動，點(diǎn)B一每分鐘20個單位長度向左運(yùn)動，問它們同時

6、出發(fā)，幾分鐘后P點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等？分析分析：⑴如圖，若點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，P為AB的中點(diǎn)，BP=PA。依題意，3—x=x—（—1），解得x=1⑵由AB=4，若存在點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和為5，P不可能在線段AB上，只能在A點(diǎn)左側(cè)，或B點(diǎn)右側(cè)。①P在點(diǎn)A左側(cè)，PA=—1—x，PB=3—x依題意，（—1—x）（3—x）=5，解得x=—1.5②P在點(diǎn)B右側(cè)，PA=x—（—1）=x1，PB=x—3依題意，（x1）（x—3）=5

7、，解得x=3.5⑶點(diǎn)P、點(diǎn)A、點(diǎn)B同時向左運(yùn)動，點(diǎn)B的運(yùn)動速度最快，點(diǎn)P的運(yùn)動速度最慢。故P點(diǎn)總位于A點(diǎn)右側(cè)，B可能追上并超過A。P到A、B的距離相等，應(yīng)分兩種情況討論。設(shè)運(yùn)動t分鐘，此時P對應(yīng)的數(shù)為—t，B對應(yīng)的數(shù)為3—20t，A對應(yīng)的數(shù)為—1—5t。①B未追上A時，PA=PA，則P為AB中點(diǎn)。B在P的右側(cè)，A在P的左側(cè)。PA=—t—（—1—5t）=14t，PB=3—20t—（—t）=3—19t依題意有，14t=3—19t，解得t=②

8、B追上A時，A、B重合，此時PA=PB。A、B表示同一個數(shù)。依題意有，—1—5t=3—20t，解得t=即運(yùn)動或分鐘時，P到A、B的距離相等。點(diǎn)評點(diǎn)評：⑶中先找出運(yùn)動過程中P、A、B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)，再根據(jù)其位置關(guān)系確定兩點(diǎn)間距離的關(guān)系式，這樣就理順了整個運(yùn)動過程。例4點(diǎn)A1、A2、A3、……An（n為正整數(shù)）都在數(shù)軸上，點(diǎn)A1在原點(diǎn)O的左邊，且A1O=1，點(diǎn)A2在點(diǎn)A1的右邊，且A2A1=2，點(diǎn)A3在點(diǎn)A2的左邊，且A3A2=3，點(diǎn)A4