特征方程法求解數(shù)列通項的依據(jù)

1、特征方程法求解遞推關(guān)系中的數(shù)列通項特征方程法求解遞推關(guān)系中的數(shù)列通項湖北省竹溪縣第一高級中學(xué)徐鴻考慮一個簡單的線性遞推問題.設(shè)已知數(shù)列的項滿足其中求這個數(shù)列的通項公式.采用數(shù)學(xué)歸納法可以求解這一問題，然而這樣做太過繁瑣，而且在猜想通項公式中容易出錯，本文提出一種易于被學(xué)生掌握的解法——特征方程法特征方程法：針對問題中的遞推關(guān)系式作出一個方程稱之為特征方程；借助這個特征方程的根快速求解通項公式.下面以定理形式進行闡述.定理定理1設(shè)上述遞推

2、關(guān)系式的特征方程的根為，則當時，為常數(shù)列，即，其中是以為公比的等比數(shù)列，即.證明：證明：因為由特征方程得作換元則當時，，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，故當時，，為0數(shù)列，故（證畢）下面列舉兩例，說明定理1的應(yīng)用.例1已知數(shù)列滿足：求解：作方程當時，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列.于是例2已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系：其中為虛數(shù)單位.當取何值時，數(shù)列是常數(shù)數(shù)列？將該式代入①式得②將代入特征方程可整理得這與已知條件矛盾.故特征方程的根于是③當，即=時，由②式