特征方程法求數(shù)列的通項公式(1)

1、1特征方程法求數(shù)列的通項公式特征方程法求數(shù)列的通項公式求數(shù)列通項公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一類數(shù)列通項公式的一種有效途徑.1.已知數(shù)列滿足......①其中.??na1nnnaabacad??????0cadbcnN???定義定義1:方程為①的特征方程該方程的根稱為數(shù)列的特征根記為.axbxcxd?????na??定理定理1:若且則.1a??????11nnnnaaacaaca????????????????證明:2

2、()0axbadbxcxdaxbcxdcc??????????????????()dacbc??????????11()()()()()()()()nnnnnnnnnnnnaabacadaabcadacabdaabaaabcadacabdcad????????????????????????????????????()[()]()()()[()]()()nnnnacacaccacaacacacaccacaac??????????????

3、????????????????????????證畢nnaacaca??????????定理定理2:若且則.1a????0ad??1121nncaada????????證明:22dacbc???????111()()()nnnnnnnncadcadaabaaabcadacabdcad??????????????????????22222()(2)()()()2nnnnnncaaccaaccaacadacacacacaa?????????

4、??????????????????2242(2)2()()()()()()()()nnnnnncaaccaacdcaadadaadaada???????????????????????證畢21ncada?????例（09江西理22）各項均為正數(shù)的數(shù)列且對滿足的正數(shù)都有??na12aaab??mnpq???mnpq3由得，可得，12a?245a?13c??數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，，?11nnaa????????111113a

5、a???13?1111133nnnaa?????????????3(1)3(1)nnnnna??????例已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項na11212()46nnnaaanNa??????nana解：其特征方程為，即，解得，令2146xxx???24410xx???1212xx???1111122nncaa?????由得，求得，12a?2314a?1c?數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，，?112na???????????112152a?

6、?1123(1)11552nnna????????135106nnan????2.已知數(shù)列滿足②其中為常數(shù)且.??na2112nnnacaca????12cc20cnN??定義定義2:方程方程為②的特征方程的特征方程該方程的根稱為數(shù)列該方程的根稱為數(shù)列的特征根的特征根記為記為.212xcxc????na12??定理定理3:若則其中其中常數(shù)常數(shù)且滿足且滿足.12???1122nnnabb????12bb111222221122abbabb

7、???????????定理定理4:若則其中其中常數(shù)常數(shù)且滿足且滿足.12?????12()nnabbn???12bb1122212()(2)abbabb?????????設(shè)，則)(11?????nnnntaastaa11)(?????nnnstaatsa令（）???????qstpts（1）若方程組（）有兩組不同的解)()(2211tsts則)(11111?????nnnnatasata)(12221?????nnnnatasata由等