丟番圖方程的解數問題.pdf

1、丟番圖方程即為不定方程，對它的研究歷史源遠流長，許多很重要的問題已經解決，更多的問題還在等著數學家們去為之奮斗.本文考慮三個問題：方程aX4-bY2=c，a，b＞0的解的個數，Thue方程解個數的上界估計，乘積中的方冪.我們有如下結果：
　　 1.利用páde逼近，證明了方程X2-(a2+h2)Y4=-h2在h=pn，2pn，p為素數，且滿足一定條件的情況下，互素的正整數解的個數不超過兩個，這在某種意義下是最佳的(即存在互素正整

2、數解個數為兩個的這類方程).對于方程X2-(1+a2)Y4=-2a,a≥1，我們在結合Dujella得到的一個關于經典Legendre定理的推廣后，得到了它的正整數解的個數不超過三個.
　　 2.設F(x，y)=a0xr+a1xr-1y+…+aryr為一個不可約的整系數二元齊次多項式，degF=r≥3，記方程|F(x，y)|=1的整數解個數(我們把(x，y)與(-x，-y)算作一個解)為Nr，利用Bombieri和Schmidt

3、以及Stewart的方法，在做了更加細致的討論后，我們得到如下結果：(1)當r≥24時，Nr＜414r.進一步的，若r≥100，則Nr＜375r.(2)當4≤r≤23時，我們對判別式D(F)大于某個常數的F，給出了其整數解的個數的一個上界估計.
　　 3.設f(x)=ax2+bx+c為整系數二次不可約多項式，當n充分大時，Tn=n∏k=1f(k)不是一個整數的方冪，即存在常數C=C(a，b，c)＞0，使得當n＞C時Tn不是一個整

4、數的方冪.而對于多項式f(x)=ax2l·3m+b∈Z[x]，l≥1，m≥0，l+m≥2，ab≠0，f(k)≠0，k≥1，在abc猜測下，我們有如下結果：當n充分大時，乘積Tn=n∏k=1f(k)不是r次方冪，其中r≥2l·3m，即存在常數C=C(f)＞0，使得當n＞C時，Tn不是r次方冪.對于一些特殊的整數b，我們考慮多項式f(x)=x2+b，b≠0在三個連續(xù)正整數處取值乘積中的方冪(考慮平方時對應的是一條橢圓曲線)，并得到了若干結果