雙時滯van der Pol方程離散格式的Neimark-Sacker分支.pdf

1、若微分動力系統(tǒng)狀態(tài)的發(fā)展演化不僅依賴于系統(tǒng)當前的狀態(tài)，同時還依賴于系統(tǒng)在以前的某些時刻甚至某些時間區(qū)段的狀態(tài)，則稱此類動力系統(tǒng)為時滯微分動力系統(tǒng)，描寫此類動力系統(tǒng)的微分方程(組)稱為時滯微分方程(組)．由于時滯微分動力系統(tǒng)在描述客觀事物時比常微分動力系統(tǒng)更深刻、更豐富，因而對時滯微分動力系統(tǒng)開展研究有深刻的理論意義和實際意義． 從定性分析的角度考慮，由于時滯微分方程的初值條件是初始函數(shù)而非簡單的初值，因而時滯微分動力系統(tǒng)與常微分

2、動力系統(tǒng)相比可能出現(xiàn)更為復雜的動力學行為．此外，由于時滯微分方程的復雜性，對其很難求出解析解，因而對其開展數(shù)值分析研究是十分必要的． 對于依賴參數(shù)的非線性動力系統(tǒng)，當其參數(shù)歷經(jīng)某一臨界值時，動力系統(tǒng)的解集的結構將發(fā)生顯著的變化，這就是動力系統(tǒng)的分支理論所要研究的問題．在眾多分支現(xiàn)象中，一種備受人們關注的分支現(xiàn)象是Hopf分支．Hopf分支刻畫的是系統(tǒng)的解集從某一平衡態(tài)向周期狀態(tài)的演化．從動力系統(tǒng)的數(shù)值分析的角度來看，我們是有理由

3、要求求解動力系統(tǒng)的數(shù)值方法保持動力系統(tǒng)的動力學行為特性的．比如如果原動力系統(tǒng)在參數(shù)值μ=μ*處產生Hopf分支，我們自然希望求解該系統(tǒng)的數(shù)值計算方法在參數(shù)μ=μ*附近產生Neimark-Sacker分支(即第二類Hopf分支)．這一研究領域是近年來備受數(shù)值分析的相關學者關注的． 本文考慮了具有雙時滯的van der Pol方程T<,1>，T<,2>的變化直接影響時滯微分系統(tǒng)(1)解集的結構，而且T<,1>，T<,2>所處地位相當

4、．文<'[68]>中固定T<,2>選取T<,1>為分支參數(shù)，得到如下結論定理存在T<,1>=T<'0><,1>使得ω<'2>=aωsinT<,1>ω+cos(T<,1>+T<,2>)ωaωCOST<,1>ω-sin(T<,1>+T<,2>)ω=0成立，且系統(tǒng)(1)在E<,0>=(0，0)點，當T<,1>穿越T<'0><,1>時有Hopf分支產生． 對方程(1)采用Euler方法求解，利用線性插值近似x(t-T<,1>)和y(t-

5、T<,2>)可以得到系統(tǒng)(1)的離散格式為文中通過對時滯系統(tǒng)和離散格式二者特征方程矩陣形式的直接對比分析獲得了離散格式(3)的特征根結構，這使得我們可以證明如下定理定理當步長h充分小時，雙時滯vail der Pol方程(1)的向前Euler離散格式(3)在T<'h><,1>=T<'0><,1>+O(h)處具有Neimark-Sacker分支，其中T<.0><,1>為方程(1)的Hopf分支值． 此定理是本文的主要結論，它表明解