時滯微分方程組的數(shù)值Hopf分支分析.pdf

1、時滯微分系統(tǒng)普遍存在于從自然界到人類社會、從自然科學(xué)與工程技術(shù)到社會科學(xué)的各個學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)，深入研究時滯微分系統(tǒng)的動力學(xué)特性不僅對認(rèn)識這些方程本身具有重要的意義，也會對其它學(xué)科領(lǐng)域的研究起到促進(jìn)作用，其理論與數(shù)值研究都是十分重要的． 分支行為往往是由系統(tǒng)中的奇異行為引起的，常發(fā)生在依賴于參數(shù)的系統(tǒng)中．Hopf分支是一類重要的分支行為，其描述了當(dāng)參數(shù)歷經(jīng)臨界點時，系統(tǒng)從平衡狀態(tài)衍生出周期解的現(xiàn)象．對系統(tǒng)Hopf分支的研究包括分支的存

2、在性、分支的參數(shù)值、分支的穩(wěn)定性等． 本文主要研究求解依賴于參數(shù)的非線性時滯微分系統(tǒng)y′(t)=f(y(t))，y(t-1)，α)，y∈R<'n>，α∈R的Runge-Kutta方法對原系統(tǒng)的Hopf分支的保持性問題． 文中對f(x，y，α)作了如下假設(shè)：f(x，y，α)∈C<'p+1>(R<'n>×R<'n>×R，R<'n>)，且存在α<'*>，以及α<'*>的某個鄰域δ(α<'*>)，有f(0，0，α)=0，α∈δ(

3、α<'*>)．由于所討論的數(shù)值方法為隱式Runge-Kutta法，本文利用Kronecker積給出其一般形式，并利用函數(shù)f(x，y，α)的光滑性及矩陣計算技巧得到數(shù)值方法特征方程的顯式表達(dá)式，進(jìn)而利用構(gòu)造的輔助矩陣與原系統(tǒng)特征方程的矩陣形式進(jìn)行對比分析，獲得了Runge-Kutta方法的特征根結(jié)構(gòu)．最后利用映射的Hopf分支理論，證明了若原系統(tǒng)在α<'*>處產(chǎn)生Hopf分支，則當(dāng)步長h=1/m(m∈Z<,+>)充分小時，Runge-Ku