耦合分?jǐn)?shù)階微分方程組的理論分析和數(shù)值計(jì)算.pdf

1、隨著試驗(yàn)和理論分析的不斷發(fā)展，分?jǐn)?shù)階微分方程的應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴(kuò)大。目前已知的應(yīng)用范圍涵蓋粘彈性力學(xué)、湍流、自動(dòng)控制理論、信號(hào)處理、混沌、凝聚態(tài)物理分形和多孔介質(zhì)中溶質(zhì)的對(duì)流與彌散、生物數(shù)學(xué)及統(tǒng)計(jì)力學(xué)、生物化學(xué)、分子生物學(xué)、水文學(xué)、經(jīng)濟(jì)等。特別是，許多復(fù)雜問題是通過耦合的分?jǐn)?shù)階微分方程組來描述的，它們的特征是耦合、非線性。一方面，方程組中所含的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)具有非局部性質(zhì)，能有效地刻畫具有記憶和遺傳特性的問題;另一方面，非局部性質(zhì)也給理論分析和

2、數(shù)值計(jì)算帶來困難。因此研究這類方程組的性質(zhì)和數(shù)值算法有現(xiàn)實(shí)的理論和應(yīng)用意義。
　　本文討論耦合分?jǐn)?shù)階微分方程組的理論和數(shù)值算法，主要內(nèi)容包括以下幾個(gè)方面:
　　第一章，給出了本論文的研究現(xiàn)狀、背景和意義，總結(jié)了前人所做的工作，介紹了一些預(yù)備知識(shí)，詳列了本論文的研究?jī)?nèi)容和結(jié)構(gòu)。
　　第二章，回顧了Riemann-Liouville和Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題解的存在唯一性，它是基本而重要的，其中的證明方法對(duì)我們接

3、下來的分析具有重要的參考價(jià)值。
　　第三章，討論了一類耦合非線性分?jǐn)?shù)階微分方程組解的存在性和唯一性。這類問題來自于分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題的Eulcr-Lagrangc方程，它是一個(gè)分?jǐn)?shù)階微分方程組的邊值問題，證明了解的存在唯一性。這個(gè)問題中的導(dǎo)數(shù)是Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，非線性項(xiàng)關(guān)于方程組的解是耦合的，分析辦法是將原問題化為等價(jià)的積分方程組，然后采用Leray-Schauder擇一定理和Banach壓縮原理證明了

4、解的存在唯一性。最后，通過具體例子說明了理論結(jié)果的適用性。
　　第四章，討論了一類自治分?jǐn)?shù)階微分方程組解的適定性。此類問題的背景源于兩區(qū)域的捕食模型。運(yùn)用上下解方法得到了解的存在唯一性，同時(shí)利用帶奇性的Gronwall不等式得到了解關(guān)于初值的連續(xù)依賴性。另外，隨著分?jǐn)?shù)階α趨于1時(shí)，數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)我們提出的兩區(qū)域分?jǐn)?shù)階捕食模型與整數(shù)階是一致的。分析和計(jì)算了平衡點(diǎn)的存在性以及穩(wěn)定性。
　　第五章，考慮階數(shù)為α的分?jǐn)?shù)階常微分方程組的