幾類分?jǐn)?shù)階微分方程和隨機(jī)延遲微分方程數(shù)值解的研究.pdf

1、眾所周知,分?jǐn)?shù)階微分方程作為非整數(shù)階常微分方程的一般化形式,它常常出現(xiàn)在不同的研究領(lǐng)域與工程中,例如：物理學(xué)、動(dòng)力系統(tǒng)控制與化學(xué)等.另外,帶延遲的隨機(jī)系統(tǒng)同樣在這些科學(xué)與工程領(lǐng)域中一直都扮演者重要的角色.本博士論文主要研究幾類分?jǐn)?shù)階微分方程和隨機(jī)延遲微分方程的數(shù)值解.
　　本博士論文可分為六章.
　　第一章,我們介紹了分?jǐn)?shù)階微分與隨機(jī)微分方程及其數(shù)值解的歷史背景和近期研究狀況,以及本文的主要研究工作.
　　第二章,研究

2、了具偏差變?cè)猂iemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分方程非線性邊值問(wèn)題的數(shù)值解.文中通過(guò)借助于單調(diào)迭代方法和上下解法,首先定義了兩個(gè)新的可一致收斂于邊值問(wèn)題解的單調(diào)上下解序列,得到了解的存在性結(jié)果.然后,建立了數(shù)值迭代序列,獲得了逼近于真實(shí)解的數(shù)值逼近解.本章的結(jié)果是在減弱了單調(diào)性條件下建立的,改進(jìn)了已有文獻(xiàn)結(jié)果,最后并給出了數(shù)值解的實(shí)例.
　　第三章,考慮了Caputo分?jǐn)?shù)階微分的方程非線性邊值問(wèn)題的數(shù)值解,通過(guò)定義擬上下解

3、與單調(diào)迭代法,構(gòu)造了擬單調(diào)上下解序列,證明其一致收斂性,給出了數(shù)值解的迭代序列.同樣,本章的工作是對(duì)已有的相關(guān)文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行改進(jìn),在更弱的條件下證明了理論的合理性.
　　第四章,我們首先給出了非線性隨機(jī)延遲微分方程在多項(xiàng)式增長(zhǎng)條件下其全局解的存在唯一性和穩(wěn)定性結(jié)果.其后,證明了帶Markov調(diào)制的此類非線性隨機(jī)延遲微分方程理論解的存在唯一性.另外,建立了此方程Euler-Maruyama數(shù)值逼近解,且證明數(shù)值解是依概率收斂到方程理論

4、解的.本章主要用多項(xiàng)式增長(zhǎng)條件代替了線性增長(zhǎng)條件,將方程數(shù)值解的一些結(jié)果推廣到了一類非線性隨機(jī)延遲微分方程中.
　　第五章,主要研究的是具有隨時(shí)間變化延遲的非線性隨機(jī)微分方程.首先,我們介紹了此非線性方程在系數(shù)滿足多項(xiàng)式增長(zhǎng)的條件下,解的存在唯一性.其后證明了方程相應(yīng)的后退Euler-Maruyama數(shù)值解,其矩的有界性,和此隱式數(shù)值逼近解是強(qiáng)收斂到真實(shí)解的.最后給出了非線性隨機(jī)系統(tǒng)的實(shí)例來(lái)驗(yàn)證理論.本章結(jié)果是將上一章數(shù)值解的弱收