分?jǐn)?shù)階微分方程的理論分析與數(shù)值計(jì)算.pdf

1、分?jǐn)?shù)階微積分已有很長(zhǎng)的歷史，早在1695年，Leibnitz給L’Hspital的一封信中就提到了分?jǐn)?shù)階微分的概念，Leibnitz寫(xiě)到：“這會(huì)導(dǎo)致悖論，不過(guò)總有一天會(huì)得到有用的結(jié)果．”早期對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分有貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家包括Liouville、Riemann、Holmgrem．在近三個(gè)世紀(jì)里，對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分理論的研究主要在數(shù)學(xué)的純理論領(lǐng)域里進(jìn)行，似乎它只對(duì)數(shù)學(xué)家們有用．然而在近幾十年里，許多學(xué)者指出分?jǐn)?shù)階微積分非常適合于刻畫(huà)具有記憶和遺傳

2、性質(zhì)的材料和過(guò)程，在經(jīng)典模型中這些性質(zhì)常常是被忽略的。如今，分?jǐn)?shù)階微分方程越來(lái)越多的被用來(lái)描述光學(xué)和熱學(xué)系統(tǒng)、流變學(xué)及材料和力學(xué)系統(tǒng)、信號(hào)處理和系統(tǒng)辨識(shí)、控制和機(jī)器人及其他應(yīng)用領(lǐng)域中的問(wèn)題。 該論文共有五章，主體可分為三部分，其中第一部分由第二和第三章組成，是對(duì)分?jǐn)?shù)階常微分方程做理論分析，第四章為論文的第二部分，研究對(duì)一般分?jǐn)?shù)階常微分方程及分?jǐn)?shù)階的Fokker-Planck方程(它是一種典型的分?jǐn)?shù)階偏微分方程)的數(shù)值計(jì)算，最后一

3、章為分?jǐn)?shù)階微分方程的應(yīng)用，即實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的廣義同步與多卷波生成。 更具體的說(shuō)，第一章簡(jiǎn)要地回顧分?jǐn)?shù)階微積分的幾種定義并分析和比較它們的一些性質(zhì)． 第二章通過(guò)應(yīng)用Laplace變換的技術(shù)，得到了多時(shí)滯線性分?jǐn)?shù)階常微分方程的特征方程，進(jìn)而給出了多時(shí)滯線性分?jǐn)?shù)階常微分方程的一般性的穩(wěn)定性判據(jù)，并將這些結(jié)果應(yīng)用于同步，同時(shí)分析了分?jǐn)?shù)階常微分方程解的可微性，最后給出了非線性分?jǐn)?shù)階常微分方程解的Mittag-Leffler表示。

4、 第三章討論了將多階分?jǐn)?shù)階常微分方程轉(zhuǎn)化為同階分?jǐn)?shù)階常微分方程的可能性，并給出了多階分?jǐn)?shù)階常微分方程的穩(wěn)定性結(jié)果。 在第四章中，首先改進(jìn)了數(shù)值求解分?jǐn)?shù)階常微分方程的預(yù)估校正法，然后從一個(gè)新的觀點(diǎn)去理解分?jǐn)?shù)階微積分的短記憶原理，將預(yù)估校正法的思想與短記憶原理結(jié)合起來(lái)對(duì)分?jǐn)?shù)階常微分方程進(jìn)行數(shù)值求解，并給出了詳細(xì)的誤差分析。同時(shí)利用Riemann-Liouville和Caputo導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，將分?jǐn)?shù)階Fokker-Planck方程