時間分數(shù)階偏微分方程高階數(shù)值解法.pdf

1、本文主要研究幾類時間分數(shù)階擴散方程的高精度數(shù)值解法并給出相應的誤差估計式.
　　首先，研究一維時間分數(shù)階反常低擴散方程的高階數(shù)值算法，并給出相應的先驗估計式.基于帶權和位移的Griinwald-Letnikov算子[48，64]，選取位移(p，q，r）=（0，-1，-2），利用Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)與Caputo分數(shù)階導數(shù)在一定的光滑條件下等價，推導出一種新的三階逼近公式來離散Caputo分數(shù)階導數(shù).空間方向

2、結合平均算子技術，對方程構造了一種新的緊差分格式（稱為GL3差分格式）.利用離散能量分析方法，嚴格證明了GL3差分格式無條件穩(wěn)定和收斂.
　　其次，討論二維時間分數(shù)階反常低擴散方程的高階數(shù)值算法.遵循一維時間分數(shù)階反常低擴散方程有限差分格式的構造技巧，對二維問題建立時間和空間均為高階的差分格式，并分析了差分格式在L1(L∞)范數(shù)意義下是無條件穩(wěn)定和收斂的.對于二維情形，由于H1半范不能嵌入到無窮模，因此，二維問題的理論分析技巧與一

3、維問題有著本質的區(qū)別.同時，通過添加小量項，對二維時間分數(shù)階反常低擴散方程建立緊交替方向隱式差分格式（稱為緊ADI格式），通過數(shù)值實驗驗證了緊ADI格式的收斂階和有效性.
　　再次，研究時間分數(shù)階擴散波方程的有效差分格式.在方程兩端作用Riemann-Liouville分數(shù)階積分算子，將原方程轉化為積分-微分方程.利用線性插值思想，推導出一種新的二階離散公式逼近Riemann-Liouville分數(shù)階積分算子，并對等價方程建立高階

4、的數(shù)值格式.通過數(shù)值算例驗證該差分格式的收斂階和有效性.
　　最后，研究帶第一類Dirichlet邊值條件的四階分數(shù)階擴散方程的空間高精度的數(shù)值算法.在點x0，x1，x2，x3處和點xM，xM-1，xM-2，xM-3處分別對uxx(x，t)進行線性組合，推導出第一類Dirichlet邊值條件的具有四階精度的離散公式，空間方向內部點作用平均算子，用L1離散公式逼近時間分數(shù)階導數(shù)，對方程建立空間一致四階的差分格式.利用數(shù)學歸納方法和離