偏微分方程數(shù)值習(xí)題解答

1、李微分方程數(shù)李微分方程數(shù)值解習(xí)題習(xí)題解答解答11如果如果，則稱是的0)0(??0x)(xJ駐點(diǎn)（或點(diǎn)（或穩(wěn)定點(diǎn)）定點(diǎn)）.矩陣對稱（不必正定），求稱（不必正定），求A證是的駐點(diǎn)的充要條件是：點(diǎn)的充要條件是：是方程是方程0x)(xJ0x組的解的解bAx?證明:由的定的定義與內(nèi)與內(nèi)積的性的性線性性性性質(zhì)得)(??)())((21)()(0000xxbxxxxAxxJ?????????????)(2)()(200xAxxbAxxJ??????)

2、()()(0xAxxbAx??????必要性必要性:由得對于任何于任何有0)0(??nRx?0)(0??xbAx由線性代數(shù)性代數(shù)結(jié)論結(jié)論知bAxbAx???000充分性充分性:由對于任何于任何bAx?0nRx?0|)()()0(00????????xAxxbAx即是的駐點(diǎn).0x)(xJ12補(bǔ)充:證明的不同的廣的不同的廣義導(dǎo)義導(dǎo)數(shù)幾乎數(shù)幾乎處處處處)(xf相等相等.于任意的于任意的有)(0IC???????bakkbadxxxfdxxxg

3、)()()1()()()(??則稱有階廣義導(dǎo)義導(dǎo)數(shù)稱為的階)(xfk)(xg)(xfk廣義導(dǎo)義導(dǎo)數(shù)并記kkdxfdxg?)(注:高階廣義導(dǎo)義導(dǎo)數(shù)不是通數(shù)不是通過遞過遞推定推定義的可能可能有高有高階導(dǎo)階導(dǎo)數(shù)而沒有低數(shù)而沒有低階導(dǎo)階導(dǎo)數(shù).2.利用利用的完全性的完全性證明是)(2IL))()((1IHIHm空間.Hilbert證明:只證的完全性的完全性.設(shè)為的基的基)(1IHnf)(1IH本列本列即0||||||||||||001??????

4、mnmnmnffffff因此知因此知都是都是中的基本列中的基本列(按nnff)(2IL的范數(shù)的范數(shù)).由的完全性的完全性存在存在)(2IL)(2IL)(2ILgf?使以下以下證明0||||0||||00????gfffnn(關(guān)鍵證鍵證明)0||||1??ffndxdfg?由不等式不等式有Schwarz00||||.|||||)())()((|??ffxxfxfnban????00|||||||||)())()((|??ffdxxxgxf