具有時(shí)滯的van der Pol-Duffing系統(tǒng)的雙Hopf分岔.pdf

1、本文主要研究了在具有時(shí)滯反饋的van der Pol-Duffing系統(tǒng)中，時(shí)滯引起的非共振的雙Hopf分岔、混沌及分岔解的定量計(jì)算。首先，根據(jù)對(duì)原系統(tǒng)的線性分析，及Hopf分岔定理，得到1：√2非共振時(shí)系統(tǒng)發(fā)生雙Hopf分岔的充要條件，其中，時(shí)滯及反饋增益為分岔參數(shù)。然后，用中心流形定理及規(guī)范型方法將原時(shí)滯系統(tǒng)約化到4維中心流形上，即，將原無(wú)限維問(wèn)題轉(zhuǎn)化為4維問(wèn)題。并定性地畫出雙Hopf分岔點(diǎn)附近的分岔圖，對(duì)雙Hopf分岔點(diǎn)

2、附近的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行分類。 容易驗(yàn)證，當(dāng)參數(shù)在分岔點(diǎn)附近取值時(shí)，中心流形理論(CMT)等方法解得的諧波解，不僅在定性上且在定量上，能夠與數(shù)值模擬吻合得很好。但是，當(dāng)參數(shù)逐漸遠(yuǎn)離分岔點(diǎn)時(shí)，用CMT等得到的解與數(shù)值模擬的結(jié)果偏差越來(lái)越大，直到完全無(wú)效。為克服CMT的這一缺點(diǎn)，我們提出用改進(jìn)的攝動(dòng)增量法(PIS)來(lái)求解時(shí)滯系統(tǒng)的周期解，甚至概周期解。數(shù)值模擬表明，改進(jìn)的PIS能有效地解決這一問(wèn)題，且得到的解可得到任意高精度?？傊?/p>

3、，本論文所提出的用CMT及PIS方法，不僅可以定性地而且定量地分析討論時(shí)滯系統(tǒng)。其中，得到高精度的概周期解是本論文的一個(gè)重要結(jié)果。據(jù)我所知，至今為止，這方面的研究成果不多。 除了上述內(nèi)容外，作者還發(fā)現(xiàn)，所研究的系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為極其豐富：在分岔點(diǎn)附近的很小的領(lǐng)域內(nèi)，不僅存在著死島(振幅為零的區(qū)域)、穩(wěn)定的周期解，還有概周期解、混沌等等復(fù)雜現(xiàn)象。這一結(jié)果表明，系統(tǒng)對(duì)時(shí)滯的變化非常敏感：即使對(duì)時(shí)滯作很小的擾動(dòng)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為都有

4、可能會(huì)發(fā)生巨大的變化。值得注意的是，本文中的考慮時(shí)滯的系統(tǒng)的參數(shù)平面中存在著穩(wěn)定區(qū)域，而這在對(duì)應(yīng)的無(wú)時(shí)滯的系統(tǒng)卻是沒(méi)有的。我們可以利用該點(diǎn)性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)對(duì)實(shí)際中的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性控制。另一方面，在通信領(lǐng)域的同步傳送方面，卻是要產(chǎn)生混沌的。所以，死島和混沌這兩種現(xiàn)象都有重要的實(shí)用價(jià)值。總之，利用這些結(jié)果，我們可以通過(guò)調(diào)整時(shí)滯等參數(shù)來(lái)控制系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。這種參數(shù)控制方法不但有效，而且在操作上很容易實(shí)現(xiàn)，因此具有很好的應(yīng)用前