數(shù)值積分對(duì)無網(wǎng)格方法的影響.pdf

1、本文主要是為Galerkin的無網(wǎng)格方法設(shè)計(jì)高效的數(shù)值積分策略。我們考慮了三類二階線性橢圓偏微分方程模型：pure Neumann邊值問題、本質(zhì)邊界條件的問題、一般的非常系數(shù)的橢圓方程。我們分別為每一個(gè)模型發(fā)展無網(wǎng)格方法、設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)臄?shù)值積分公式，并分析了由數(shù)值積分格式獲得的近似解對(duì)真解的逼近誤差。 無網(wǎng)格方法起源于上個(gè)世紀(jì)七十年代，從九十年代初期開始了大量的研究。該方法的動(dòng)機(jī)是為了舒緩?fù)ǔ５木W(wǎng)格方法(例如有限元)用于求解一些復(fù)雜

2、的工程問題(如裂紋傳播問題、大變形問題等)時(shí)劃分空間網(wǎng)格的沉重負(fù)擔(dān)。從這類方法誕生的初期，人們便意識(shí)到了(剛性矩陣、質(zhì)量矩陣、承載向量的元素的)數(shù)值積分嚴(yán)重地阻礙Galerkin無網(wǎng)格方法的有效運(yùn)用。不充分的數(shù)值積分甚至可以導(dǎo)致方法的失敗。盡管工程界進(jìn)行了很多的努力來處理這個(gè)問題，然而對(duì)于它的精確的理解仍然是很缺乏的，工程師們經(jīng)常用“過度的積分”，計(jì)算代價(jià)相當(dāng)昂貴。同時(shí)，鮮有系統(tǒng)的理論(數(shù)學(xué))分析來研究這個(gè)問題。因此，數(shù)學(xué)上考察數(shù)值積分

3、對(duì)無網(wǎng)格方法的影響并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)可靠的積分公式是這類方法成功的關(guān)鍵。 在這篇論文中，我們提出了無網(wǎng)格方法中的數(shù)值積分需要滿足的三個(gè)條件，其中之一是由Green公式得到的啟示，它將在本文的所有分析中發(fā)揮中心的作用。這個(gè)條件指出，當(dāng)Green公式的兩端的積分項(xiàng)被數(shù)值地計(jì)算時(shí)，等式依然可以對(duì)一些特定的光滑函數(shù)類成立。我們同樣給出了滿足這個(gè)條件的算法，我們稱之為積分校正原則。我們提及一些標(biāo)準(zhǔn)的積分公式并不滿足這個(gè)條件，例如高斯積分。

4、 對(duì)于文中考慮的每個(gè)模型問題，我們都從數(shù)學(xué)上分析了帶有數(shù)值積分格式的無網(wǎng)格方法的逼近性。這些分析是建立在所謂的Strang引理的基礎(chǔ)上的，該引理允許我們將誤差劃分為兩部分——逼近誤差和數(shù)值積分導(dǎo)致的“擾動(dòng)”誤差，其中擾動(dòng)誤差可以被文中的積分算法控制，即誤差不會(huì)放大。而且依據(jù)離散化參數(shù)h適當(dāng)?shù)剡x擇數(shù)值積分公式，我們可以獲得計(jì)算的近似解的最佳逼近階。這個(gè)現(xiàn)象是完全不同于標(biāo)準(zhǔn)的有限元方法的。在有限元方法中，為了得到最佳的逼近階，數(shù)值積分

5、公式不必依賴于h。這是消除網(wǎng)格所付出的代價(jià)。 需要強(qiáng)調(diào)的是，對(duì)于上面提到每種模型問題我們都需要為其考慮適當(dāng)?shù)淖兎中问?，從而?duì)應(yīng)了不同的Galerkin無網(wǎng)格方法。例如，(a)在pure Neumann的情形，我們用基于Lagrange乘子的變分公式；(b)對(duì)于帶有本質(zhì)邊界條件的問題，我們用一個(gè)擾動(dòng)的變分問題，即所謂的非對(duì)稱的Nitsche's方法；(c)通常的變分公式被用于一般的、帶有非常系數(shù)的橢圓方程。結(jié)果的每種無網(wǎng)格方法在精