無網(wǎng)格局部邊界積分方程方法研究：算法與應(yīng)用.pdf

1、傳統(tǒng)的數(shù)值方法,如有限元法、有限差分法和邊界元等,在科學(xué)研究和工程技術(shù)領(lǐng)域都得到廣泛的研究和應(yīng)用,特別是以有限元法為基礎(chǔ),發(fā)展出了大量通用實(shí)用的商業(yè)程序,形成了計(jì)算機(jī)輔助工程設(shè)計(jì)的產(chǎn)業(yè)。然而,有限元在一些特殊問題的求解中,如大變形、動(dòng)邊界等,還具有一定的局限和困難,這是由于有限元近似函數(shù)基于有限元網(wǎng)格所造成的。無網(wǎng)格方法的近似函數(shù)擺脫了網(wǎng)格依賴性,因此一經(jīng)出現(xiàn),就得到了計(jì)算力學(xué)領(lǐng)域的高度重視和廣泛研究,短短十余年時(shí)間,發(fā)展出的各類無網(wǎng)格

2、方案超過三十種,并在高速?zèng)_擊、超大變形、裂紋擴(kuò)展等問題都取得了成功。但是就整體而言,各類無網(wǎng)格方法無論是理論基礎(chǔ)研究還是應(yīng)用研究,深度和廣度都有待進(jìn)一步提高。從這一現(xiàn)狀出發(fā),本文結(jié)合無網(wǎng)格局部邊界積分方程方法的特點(diǎn),進(jìn)行了理論和應(yīng)用上的研究。
　　本文開展的工作主要圍繞局部邊界積分方程方法算法的進(jìn)一步研究和完善,主要包括算法基本內(nèi)容、奇異性處理和自適應(yīng)分析等;以及應(yīng)用背景的研究和擴(kuò)展,主要包括聲傳播問題和彈塑性問題,具體內(nèi)容如下:

3、
　　1、算法的研究和完善
　　無網(wǎng)格方法區(qū)別于有限元等網(wǎng)格型的數(shù)值方法,最根本的是節(jié)點(diǎn)物理量的近似函數(shù)不再基于網(wǎng)格而基于求解域內(nèi)離散的節(jié)點(diǎn),但同時(shí)也造成了無網(wǎng)格法近似函數(shù)中的較多參數(shù)選擇問題等;這些參數(shù)選擇是包括局部邊界積分方程方法在內(nèi)的無網(wǎng)格算法的最基本內(nèi)容。本文對包括這些參數(shù)在內(nèi)的算法基本方面進(jìn)行了較為詳細(xì)的討論,包括緊支權(quán)函數(shù)、局部子域半徑、影響域半徑、伴隨解、正交基函數(shù)、邊界參數(shù)化處理等方面,采用Delaunay三

4、角分解搜尋源節(jié)點(diǎn)的鄰節(jié)點(diǎn),然后進(jìn)一步根據(jù)節(jié)點(diǎn)的幾何分布自適應(yīng)地確定局部子域半徑和影響域半徑。
　　局部邊界積分方程方法通過采用邊界元法中的基本解,將局部子域上的面積分和體積分轉(zhuǎn)化成線積分和面積分,求解區(qū)域降一維,但基本解的引入同時(shí)也造成了對邊界節(jié)點(diǎn)的局部子域邊界上的奇異積分問題。本文對正則化方法處理奇異積分問題做了進(jìn)一步研究,將其擴(kuò)展到處理Helmholtz問題的局部邊界積分方程中的強(qiáng)奇異積分;通過典型算例的數(shù)值評估,正則化方法可

5、以有效的處理Laplace方程和helmholtZ方程的局部邊界積分方程方法中的奇異積分問題。此外,對求解域內(nèi)節(jié)點(diǎn)采用局部邊界積分方程,而對邊界節(jié)點(diǎn)直接采用移動(dòng)最小二乘近似函數(shù)引入邊界條件,進(jìn)一步提出了改進(jìn)的無奇異局部邊界積分方程方法。該方法避免了奇異積分問題,同時(shí)也解決了對積分邊界進(jìn)行插值引入近似誤差的問題;數(shù)值實(shí)驗(yàn)展示出該方法的簡單性和高效性。
　　局部邊界積分方程方法是一種“純”無網(wǎng)格方法,積分只需要在局部子域及其邊界上進(jìn)行

6、,因此在自適應(yīng)分析方面非常具有前景。結(jié)合移動(dòng)最小二乘近似和Taylor級數(shù)展開的后處理技術(shù),對雙誤差指示做了進(jìn)一步的研究,提出采用節(jié)點(diǎn)位勢導(dǎo)數(shù)進(jìn)行雙誤差指示的定義。充分利用后處理技術(shù)得到更為精確的位勢導(dǎo)數(shù)作為參考解對真實(shí)誤差進(jìn)行估計(jì),提出基于局部邊界積分方程方法的后驗(yàn)誤差估計(jì)方案,數(shù)值算例表明,估計(jì)誤差能夠有效指示出真實(shí)誤差的大小和分布。
　　2、應(yīng)用背景問題的研究和擴(kuò)展
　　有限元數(shù)值求解Helmholtz方程控制聲場傳播

7、問題,由于要求每個(gè)波長內(nèi)必須有足夠的單元數(shù)來保證近似精度,因此在波數(shù)增加的時(shí)候,計(jì)算規(guī)模也迅速增加,同時(shí)增加的彌散誤差也會(huì)在一定程度上“污染”計(jì)算精度。
　　本文將局部邊界積分方程方法擴(kuò)展到Helmholtz方程控制下的聲傳播問題,充分利用移動(dòng)最小二乘近似函數(shù)容易引入頻率依賴的波解函數(shù)作為基函數(shù)的優(yōu)勢,在不需要太多節(jié)點(diǎn)的情況下可以極大地提高近似精度,降低彌散誤差,這在高波數(shù)情況的求解中非常具有發(fā)展前景。對局部邊界積分方程方法在二維