非齊次問(wèn)題邊界積分方程中域積分計(jì)算方法的研究及應(yīng)用.pdf

1、計(jì)算機(jī)輔助工程(CAE)技術(shù)在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和分析中發(fā)揮著重要的作用，邊界積分方程方法為CAE分析中重要的數(shù)值計(jì)算方法之一。邊界面法是一種幾何精確的邊界積分方程方法，采用邊界面法求解工程問(wèn)題具有計(jì)算精度高、幾何模型無(wú)誤差、降維、容易實(shí)現(xiàn) CAD\CAE的一體化等特點(diǎn)。降維是邊界積分方程方法最重要的優(yōu)勢(shì)之一，即僅需對(duì)問(wèn)題域的邊界進(jìn)行離散和積分，這將降低模型網(wǎng)格劃分難度、減少積分計(jì)算時(shí)間、降低問(wèn)題的計(jì)算規(guī)模，使得邊界面法與非邊界積分類(lèi)型方法相

2、比更有優(yōu)勢(shì)。但非齊次問(wèn)題的邊界積分方程中不可避免地會(huì)出現(xiàn)域積分，如含有內(nèi)部熱源的熱傳導(dǎo)問(wèn)題和有體力的力學(xué)問(wèn)題等，這些已知場(chǎng)分布的域積分可根據(jù)場(chǎng)分布是否能用解析函數(shù)表示而分為解析函數(shù)型和非解析函數(shù)型，若直接在問(wèn)題域內(nèi)劃分體單元對(duì)域積分進(jìn)行計(jì)算，將會(huì)削減邊界積分方程的降維優(yōu)勢(shì)；若物理問(wèn)題的控制方程無(wú)解析基本解，則只能使用該方程不完整算子的基本解，這將導(dǎo)致方程中出現(xiàn)包含未知變量的域積分，如彈性屈曲問(wèn)題，此時(shí)域內(nèi)節(jié)點(diǎn)的未知變量將參與方程組的求解

3、，增加了方程的維度，使得降維優(yōu)勢(shì)完全喪失，所以，邊界積分方程方法中域積分轉(zhuǎn)化方法的研究十分重要?，F(xiàn)已有幾種域積分轉(zhuǎn)化方法被提出，并被成功地應(yīng)用于穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)、彈性靜力等問(wèn)題中。由于域積分中包含基本解，且域積分轉(zhuǎn)化方法均與控制方程有關(guān)，因此在控制方程和基本解較為復(fù)雜的問(wèn)題中，域積分更加難以處理，如三維瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題以及彈性屈曲問(wèn)題，其域積分的計(jì)算精度和效率仍有待提高。
　　本文將以邊界面法為基礎(chǔ)，研究轉(zhuǎn)化工程問(wèn)題邊界積分方程中三類(lèi)域積

4、分的有效方法，最終實(shí)現(xiàn)在無(wú)需域內(nèi)單元和域內(nèi)源點(diǎn)的前提下進(jìn)行仿真分析。本文主要完成的內(nèi)容如下：
　　(1)針對(duì)解析函數(shù)型域積分，提出了基于修正 Helmholtz方程基本解的頻域多重互易公式，成功地將解析函數(shù)型域積分轉(zhuǎn)化為了等效的邊界積分。新推導(dǎo)的頻域多重互易公式打破了傳統(tǒng)多重互易法對(duì)Laplace方程基本解的依賴(lài)，解決了傳統(tǒng)多重互易法收斂性差和無(wú)法進(jìn)行誤差估計(jì)等問(wèn)題，且由于修正 Helmholtz基本解與高階基本解之間簡(jiǎn)單的倍數(shù)關(guān)

5、系，使得轉(zhuǎn)化得到的邊界積分級(jí)數(shù)形式十分簡(jiǎn)潔，對(duì)應(yīng)的矩陣方程中沒(méi)有增加新的系數(shù)矩陣，節(jié)約了計(jì)算和存儲(chǔ)的成本。本文將頻域多重互易法應(yīng)用于三維瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題的積分方程中，首先選擇頻域法降低問(wèn)題控制方程和基本解的復(fù)雜度，并采用修正 Helmholtz方程的基本解將控制方程轉(zhuǎn)化為邊界積分方程；其次運(yùn)用基于修正 Helmholtz基本解的頻域多重互易公式將方程中解析函數(shù)型域積分轉(zhuǎn)化為等價(jià)的邊界積分，得到了瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題的純邊界積分方程形式，其離散模

6、型僅需邊界網(wǎng)格，且無(wú)需任何域內(nèi)插值點(diǎn)，降低了模型的離散難度，成功地將與時(shí)間有關(guān)的四維問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與時(shí)間無(wú)關(guān)且僅需邊界離散的問(wèn)題，達(dá)到了降維的目的。
　　(2)針對(duì)非解析函數(shù)型域積分，提出了頻域三重互易法，對(duì)無(wú)解析函數(shù)表達(dá)式的已知物理場(chǎng)分布進(jìn)行三重互易插值后，可成功地將域積分轉(zhuǎn)化為邊界積分。頻域三重互易公式與傳統(tǒng)的時(shí)域三重互易法相比，其頻域基本解與時(shí)間無(wú)關(guān)，高階基本解簡(jiǎn)單且無(wú)需進(jìn)行時(shí)間積分，轉(zhuǎn)化域積分后得到的邊界積分形式更為簡(jiǎn)潔，可節(jié)

7、約系數(shù)矩陣的計(jì)算時(shí)間和存儲(chǔ)空間。本文應(yīng)用頻域三重互易法轉(zhuǎn)化三維瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題積分方程中的域積分，成功地將非解析函數(shù)型域積分轉(zhuǎn)化為邊界積分，達(dá)到了降維的目的。并且結(jié)合變量代換法求解了幾類(lèi)功能梯度材料的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題，成功轉(zhuǎn)化了該問(wèn)題中經(jīng)變量代換后更加復(fù)雜的非解析函數(shù)型域積分。最后得到了頻域三重互易法和頻域多重互易法的結(jié)合方法，可轉(zhuǎn)化三維瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題中任何已知物理場(chǎng)分布的域積分。
　　(3)針對(duì)含有未知變量的域積分，得到了基于徑向基

8、函數(shù)插值的雙重互易公式，避免了域內(nèi)離散且降低了問(wèn)題的維度。采用徑向基函數(shù)對(duì)同時(shí)包含基本解、非解析場(chǎng)分布和未知位移變量的域積分進(jìn)行插值，成功地分離出了域積分中的未知位移變量，且分離出的位移變量?jī)H與邊界節(jié)點(diǎn)相關(guān)，降低了問(wèn)題的維度，無(wú)需補(bǔ)充以域內(nèi)節(jié)點(diǎn)為源點(diǎn)的積分方程，最后采用雙重互易法將域積分轉(zhuǎn)化為邊界積分，避免了域內(nèi)離散。本文將轉(zhuǎn)化未知變量型域積分的雙重互易公式應(yīng)用于彈性屈曲問(wèn)題中，首先基于完整實(shí)體理論得到了彈性屈曲問(wèn)題的控制方程，避免了傳

9、統(tǒng)穩(wěn)定性分析中梁桿板殼的假設(shè)，消除了因忽略模型細(xì)小特征和初始缺陷帶來(lái)的誤差；其次運(yùn)用基于徑向基函數(shù)插值的雙重互易法將積分方程中的非解析函數(shù)型域積分轉(zhuǎn)化為邊界積分；考慮到屈曲分析的模型均為長(zhǎng)條形或者扁平形模型，在對(duì)域函數(shù)進(jìn)行插值擬合時(shí)僅選用邊界節(jié)點(diǎn)作為插值點(diǎn)，使得分離出的位移變量?jī)H為邊界變量，不但避免了域內(nèi)離散，而且降低了方程未知數(shù)的維度，無(wú)需補(bǔ)充以域內(nèi)節(jié)點(diǎn)為源點(diǎn)的積分方程。最終在無(wú)需域內(nèi)單元和任何域內(nèi)插值點(diǎn)的前提下實(shí)現(xiàn)了三維彈性屈曲問(wèn)題