基于邊界積分方程的Galerkin無網格方法.pdf

1、無網格方法在近年來得到廣泛關注，其基本特點是場函數建立在獨立的節(jié)點上，節(jié)點之間無需網格聯(lián)接。邊界積分方程能使所考慮問題的維數降低一維，是求解線性問題和外部問題的一種有效工具?；谶吔绶e分方程的無網格方法是無網格方法的一個重要分支。
　　 本文首先回顧了無網格方法的發(fā)展歷史和研究現狀，綜述了無網格方法數學理論的研究進展，介紹了無網格方法的基本原理，總結了無網格方法的特點、優(yōu)越性以及目前無網格方法的難點和存在的問題。然后在大量前人工

2、作的基礎上，提出了一種新的基于邊界積分方程的Galerkin無網格方法——Galerkin邊界點法，并成功地將其應用于位勢問題、彈性力學問題和流體力學問題的求解。
　　 在Galerkin邊界點法中，首先將邊值問題歸結為邊界積分方程的弱形式或變分公式，然后利用移動最小二乘近似構造變分公式中的試探函數和檢驗函數，進而得到近似的有限維逼近空間。Galerkin邊界點法利用了移動最小二乘近似的無網格思想和邊界積分方程的降維特性，因此它

3、的輸入數據只是求解域邊界上的離散分布的點。由于引入了變分公式，Galerkin邊界點法能保持變分問題的對稱性和正定性，該性質使得Galerkin邊界點法是耦合有限元方法或者其它已經建立的區(qū)域型無網格方法(如無單元Galerkin法)的理想方法，這種耦合技術非常適合求解無限域問題。另外，雖然用移動最小二乘近似構造的形函數不具有插值特性，但是通過把邊界函數與檢驗函數相乘并在邊界上積分，Galerkin邊界點法中的邊界條件仍能容易地精確滿足。

4、
　　 本論文針對Galerkin邊界點法進行了理論分析和數值應用，具體研究工作如下：
　　 首先研究了任意邊界上的移動最小二乘近似，給出了移動最小二乘近似的性質。當節(jié)點和權函數滿足一定條件時，證明了移動最小二乘近似的近似函數在Sobolev空間中的最優(yōu)誤差估計。誤差結果表明，移動最小二乘近似的逼近誤差與節(jié)點間距密切相關。
　　 其次給出了Galerkin邊界點法求解作為擬微分算子方程的邊界積分方程的算法。邊界積

5、分方程首先被轉化為相應的變分形式，然后用移動最小二乘近似的形函數構造解空間。為了計算積分，我們在邊界上構造了背景網格?；谝苿幼钚《私频恼`差公式和擬微分算子理論，推導了用Galerkin邊界點法求解邊界積分方程的解的誤差公式。從誤差分析的過程中可以看出，Galerkin邊界點法的誤差主要來自兩個方面：一是用背景網格上的積分去近似邊界積分；二是用移動最小二乘近似去逼近邊界變量。我們還考慮了邊界積分方程的未知量需要滿足一定約束條件的情形

6、，此時我們采用Lagrange乘子放松這個約束，并給出了相應的數值實施過程和誤差估計。
　　 第三，用Galerkin邊界點法求解了Laplace問題、雙調和問題、線彈性問題和Stokes問題。把邊值問題歸化為等價的第一類邊界積分方程，再用Galerkin邊界點法進行求解。我們給出了數值求解過程，并就一般情形詳細地進行了誤差分析，得到了最佳漸進誤差估計。當積分用的背景網格和邊界重合時，我們進一步得到了近似解的能量模估計。數值算例