高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.5 平面向量應(yīng)用舉例 2.5.1 平面幾何中的向量方法互動(dòng)課堂學(xué)案 新人教a版必修4

1、2.5.12.5.1平面幾何中的向量方法平面幾何中的向量方法互動(dòng)課堂互動(dòng)課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)疏導(dǎo)引導(dǎo)1.向量在平面幾何中的應(yīng)用向量是數(shù)學(xué)中證明幾何命題的有效工具之一.根據(jù)平面向量的基本定理任一平面直線型圖形中的線段都可以表示為某些向量的線性組合這樣在證明幾何命題時(shí)可先把已知和結(jié)論表示成向量的形式再通過向量的運(yùn)算就很容易得出結(jié)論.一般地利用實(shí)數(shù)與向量的積可證明共線、平行、長(zhǎng)度問題.利用向量的數(shù)量積可解決長(zhǎng)度、角度、垂直等問題.圖251例如求證平行

2、四邊形對(duì)角線互相平分如圖251所示已知ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M設(shè)AM=xACBM=yBD則AM=xAC=xABxAD.AM=ABBM=AByBD=ABy(ADAB)=(1y)AByAD.于是我們得到關(guān)于基底ABAD的AM的兩個(gè)分解式.因?yàn)榉纸馐绞俏ㄒ坏乃??????.1yxyx解得x=21y=21.故M是AC、BD的中點(diǎn)即對(duì)角線AC、BD在交點(diǎn)處互相平分.通過上例可以看出用向量方法解決平面幾何的步驟為:(1)建立平面幾何與向量之

3、間的聯(lián)系用向量表示問題中涉及的幾何元素將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.(2)通過向量運(yùn)算解決幾何元素之間的關(guān)系.(3)把運(yùn)算結(jié)果翻譯成幾何關(guān)系.疑難疏引疑難疏引(1)證明線段相等、平行常運(yùn)用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則有時(shí)用到向量減法的定義.(2)證明線段平行、三角形相似判斷兩直線是否平行常運(yùn)用向量共線的條件.(3)證明線段的垂直問題常用向量垂直的條件a⊥b?ab=0.(4)求與夾角相關(guān)的問題常用向量的夾角公式cosθ=||||b

4、aba?.2.向量在解析幾何中的應(yīng)用在平面直角坐標(biāo)系中有序?qū)崝?shù)對(duì)(xy)既可表示一個(gè)固定的點(diǎn)又可以表示一個(gè)向量.使向量與解析幾何有了密切的聯(lián)系.特別是有關(guān)直線的平行、垂直問題可以用向量方法解決.例如:求通過點(diǎn)A(12)且平行于向量a=(32)的直線方程.33.下圖253所示是并列的三個(gè)大小相同的正方形求證:∠1∠2∠3=90.圖253證明：證明：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)OC、OG所在的直線為x、y軸建系如上圖設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1則OD=(31)OE=