2012中國科學院大學考研真題之高等代數(shù)

1、中國科學院研究生院中國科學院研究生院202012年招收攻讀碩士學位研究生入學統(tǒng)一考試試題年招收攻讀碩士學位研究生入學統(tǒng)一考試試題科目名稱科目名稱：高等代數(shù)高等代數(shù)考生須知考生須知：1本試卷滿分為150分，全部考試時間總計180分鐘。2所有答案必須寫在答題紙上，寫在試題紙上或草稿紙上一律無效。1(15分)證明多項式2()11!2!!nxxxfxn??????沒有重根。2(20分)設多項式1()()()(1)kgxpxgxk??，多項式()

2、px與1()gx互素。證明：對任意多項式()fx有111()()()()()()()kkfxfxrxgxpxpxgx???其中，1()()rxfx都是多項式，()0rx?或deg(())deg(())rxpx?。3(20分)已知n階方陣2112122122212111111nnnnnaaaaaaaaaaAaaaaa????????????????????????????其中，2111nniiiiaan??????。1)求A的全部特征值；

3、2)求A的行列式det()A和跡tr()A。4(15分)設數(shù)域k上的n階方陣A滿足2AA?，12VV分別是齊次線性方程組0Ax?和()0nAIx??在nk中的解空間，試證明：12nVV??k，其中nI代表n階單位矩陣，?表示直和?？颇棵Q：高等代數(shù)第1頁共2頁5(20分)設n階矩陣A可逆，??均為n維列向量，且110TA?????，其中T?表示?的轉置。1）證明矩陣1TAP??????????可逆，并求其逆矩陣；2）證明矩陣TQA???

4、?可逆，并求其逆矩陣。6(20分)證明：任何復數(shù)方陣A都與它的轉置矩陣TA相似。7(22分)在二階實數(shù)矩陣構成的線性空間22?R中定義：()tr()TABAB?，22AB???R其中，TA表示矩陣A的轉置，tr()X表示矩陣X的跡。1)證明()AB是線性空間22?R的內積；2)設W是由1211010011AA??????????????生成的子空間。試求W?的一組標準正交基。8(18分)設12nTTT?是數(shù)域上線性空間V的非零線性變換，