2013中國(guó)科學(xué)院大學(xué)考研真題之高等代數(shù)

1、中國(guó)科學(xué)院中國(guó)科學(xué)院大學(xué)大學(xué)20201313年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)統(tǒng)一考試試題年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)統(tǒng)一考試試題科目名稱：科目名稱：高等代數(shù)高等代數(shù)考生須知：考生須知：1本試卷滿分為150分，全部考試時(shí)間總計(jì)180分鐘。2所有答案必須寫在答題紙上，寫在試題紙上或草稿紙上一律無效。1(15分)求下面1n階行列式的值01211232234112211nnnnnnnnssssssssxDssssxssssx??=?????????

2、?其中，12kkkknsxxx=?。2(15分)假設(shè)矩陣A與B沒有公共的特征根，()fx是矩陣A的特征多項(xiàng)式，證明以下結(jié)論：1)矩陣()fB可逆；2)矩陣方程AXXB=只有零解。3(15分)設(shè)()1ijijnAa≤≤=是斜對(duì)稱方陣，即()1112ijnjniaaijn??==?，證明：若A可逆，則其逆陣也是斜對(duì)稱方陣。4(20分)設(shè)二次曲面2222224xayzbxyxzyz=可以經(jīng)由正交變換xyPzξηζ????????=??????

3、??????化成橢圓柱面方程2244ηζ=，試求ab和正交矩陣P?？颇棵Q：高等代數(shù)第1頁(yè)共2頁(yè)5(15分)假設(shè)3階實(shí)方陣A滿足：2AE=，E是單位方陣，AE≠。證明()2()1TrA=，其中()TrA表示矩陣A的跡。6(15分)設(shè)A為n階半正定實(shí)矩陣。證明：|A2013E|≥2013n，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)A=0。其中，E是單位矩陣。7.(15分)證明：任何一個(gè)實(shí)方陣均可表示成兩個(gè)對(duì)稱矩陣的乘積，其中至少有一個(gè)矩陣可逆。8(15分)設(shè)A是

4、一個(gè)33正交矩陣，證明A可以寫成CR，其中C對(duì)應(yīng)于3R中的旋轉(zhuǎn)變換，R對(duì)應(yīng)于3R的恒等變換或?qū)?yīng)于3R中的鏡面反射變換，其中R表示實(shí)數(shù)域。9(10分)設(shè)V是數(shù)域F上的有限維向量空間，φ是V上的線性變換。證明V能夠分解成兩個(gè)子空間的之和VUW=⊕，其中，UW滿足：對(duì)任意uU∈，存在正整數(shù)k使得()0kuφ=；對(duì)任意wW∈，存在mvV∈，使得()mmwvφ=對(duì)所有的正整數(shù)m。10(15分)設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上的n維線性空間，φ是V上的線性變換，