2013中國科學(xué)院大學(xué)考研真題之量子力學(xué)

1、科目名稱：量子力學(xué)第1頁，共2頁中國科學(xué)院中國科學(xué)院大學(xué)大學(xué)202013年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)統(tǒng)一考試試題年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)統(tǒng)一考試試題科目名稱：科目名稱：量子力學(xué)量子力學(xué)考生須知：考生須知：1本試卷滿分為150分，全部考試時(shí)間總計(jì)180分鐘。2所有答案必須寫在答題紙上，寫在試題紙上或草稿紙上一律無效。一、（共30分）質(zhì)量為的粒子在一個(gè)無限深球方勢阱0()raVrra≤?=?∞?中運(yùn)動(dòng)。(1)寫出徑向波函數(shù)()lRr滿足

2、的方程（已知：222222?1??=???lrrrr）。(2)求其中0l=的歸一化能量本征函數(shù)和能量本征值。二、（共30分）考慮一質(zhì)量為m的自由粒子的一維運(yùn)動(dòng)。設(shè)初始)0(=t時(shí)刻波函數(shù)為24120)()0(xxikexαπαψ?=（α、0k為實(shí)常數(shù)；02=∫∞∞??aaedxaxπ）。(1)求0t時(shí)刻動(dòng)量表象波函數(shù))(~tkΨ及粒子動(dòng)量幾率分布)(tkΠ。(2)求0t時(shí)刻波函數(shù))(txΨ及粒子位置幾率分布)(txΡ。(3)簡述粒子動(dòng)量

3、幾率分布)(tkΠ及位置幾率分布)(txΡ隨時(shí)間演化的特性。三、（共30分）一自旋為12的粒子的歸一化自旋態(tài)為λ。設(shè)自旋態(tài)λ下測量自旋角動(dòng)量?zs得到2?的幾率是925，測量?xs得到2?的幾率是12。(1)求自旋態(tài)λ。(2)求該自旋態(tài)下自旋角動(dòng)量?ys的平均值。科目名稱：量子力學(xué)第2頁，共2頁四、（共30分）兩個(gè)質(zhì)量均為m的非全同粒子在一維無限深勢阱0()xaVxxa≤?=?∞?中運(yùn)動(dòng)。(1)不考慮兩個(gè)粒子間的相互作用，求該體系的能級(jí)

4、和歸一化能量本征態(tài)。(2)設(shè)兩個(gè)粒子之間的相互作用為211221()()0()VxxbHxxxxb￠=其中1x和2x分別為兩個(gè)粒子的坐標(biāo)，ba?，V為常數(shù)。以H′作為微擾，求基態(tài)能量的一級(jí)修正，結(jié)果只保留至ba的一次項(xiàng)。五、（共30分）(1)考慮由兩個(gè)自旋為21的非全同粒子組成的系統(tǒng)，兩個(gè)粒子的自旋算符分別記為1?S和2?S。求系統(tǒng)總自旋算符212?S、zS12?（2112???SSS=）的所有共同本征態(tài)和對(duì)應(yīng)的本征值。(2)考慮由三個(gè)