2012中國(guó)科學(xué)院大學(xué)考研真題之量子力學(xué)

1、科目名稱：量子力學(xué)第1頁，共2頁中國(guó)科學(xué)院研究生院中國(guó)科學(xué)院研究生院20201212年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)統(tǒng)一考試試題年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)統(tǒng)一考試試題科目名稱科目名稱：量子力學(xué)量子力學(xué)考生須知考生須知：1本試卷滿分為150分，全部考試時(shí)間總計(jì)180分鐘。2所有答案必須寫在答題紙上，寫在試題紙上或草稿紙上一律無效。一、（共30分）質(zhì)量為?的粒子在一維無限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，勢(shì)能000xaVxxa?????????或(1)求粒子的能

2、級(jí)和歸一化波函數(shù)。(2)畫出處于第二、第三激發(fā)態(tài)的粒子的概率密度的示意圖。(3)求坐標(biāo)算符在能量表象下的矩陣元。二、（共30分）質(zhì)量為?的一維諧振子，帶電q，初始t???時(shí)處于基態(tài)?0|設(shè)加上微擾22exptHqEx???????????，其中E為外電場(chǎng)強(qiáng)度，?為參數(shù)。求t???時(shí)諧振子仍停留在基態(tài)的概率。三、（共30分）設(shè)一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ｉ、電偶極矩為D的轉(zhuǎn)子自由地在XY平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)角為?。(1)試求其能量本征值和本征態(tài)。(2)設(shè)沿X方

3、向加上電場(chǎng)E，即微擾哈密頓量為cosHDE????，試用微擾論求其基態(tài)能量的一級(jí)和二級(jí)微擾修正。四、（共30分）(1)寫出角動(dòng)量算符的三個(gè)分量xJ、yJ、zJ相互間滿足的所有對(duì)易關(guān)系。(2)試?yán)眠@些對(duì)易關(guān)系，證明矩陣元nJmx僅當(dāng)1??nm時(shí)不為零。其中m、n分別為zJ的本征值為?m、?n的本征態(tài)。(3)設(shè)角動(dòng)量量子數(shù)1?j。已知在zJ的某一個(gè)本征態(tài)m中，xJ取值為0的概率為21。求xJ取值為??的概率?？颇棵Q：量子力學(xué)第2頁，共2

4、頁五、（共30分）氫原子的哈密頓量為2202peHr???，基態(tài)波函數(shù)及基態(tài)能量為021300)()(arear?????，2402022eeEa??????，其中202ae???為第一Bohr軌道半徑。設(shè)體系受到微擾Hez???的作用（沿z方向加上均勻電場(chǎng)?），哈密頓量變成0HHH???。(1)計(jì)算對(duì)易關(guān)系：0[]HH?及0[[]]HHH??。(2)計(jì)算0?下的平均值：0H?及20H?。(3)取基態(tài)試探波函數(shù)為0()(1)NH????