初中數(shù)學(xué)“最值問(wèn)題”-集錦

1、1LYR(20100923)LYR(20100923)“最值問(wèn)題“最值問(wèn)題”集錦集錦●平面幾何中的最值問(wèn)題…………………平面幾何中的最值問(wèn)題…………………0101●幾何的定值與最值………………………●幾何的定值與最值………………………0707●最短路線問(wèn)題……………………………●最短路線問(wèn)題……………………………1414●對(duì)稱問(wèn)題…………………………………●對(duì)稱問(wèn)題…………………………………1818●巧作“對(duì)稱點(diǎn)”妙解最值題……………●

2、巧作“對(duì)稱點(diǎn)”妙解最值題……………2222●數(shù)學(xué)最值題的常用解法…………………●數(shù)學(xué)最值題的常用解法…………………2626●求最值問(wèn)題………………………………●求最值問(wèn)題………………………………2929●有理數(shù)的一題多解………………………●有理數(shù)的一題多解………………………3434●4道經(jīng)典題………………………………道經(jīng)典題………………………………3737●平面幾何中的最值問(wèn)題平面幾何中的最值問(wèn)題在平面幾何中，我們常常遇到各種求最大值和

3、最小值的問(wèn)題，有時(shí)它和不等式聯(lián)系在平面幾何中，我們常常遇到各種求最大值和最小值的問(wèn)題，有時(shí)它和不等式聯(lián)系在一起，統(tǒng)稱最值問(wèn)題如果把最值問(wèn)題和生活中的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，可以達(dá)到最經(jīng)在一起，統(tǒng)稱最值問(wèn)題如果把最值問(wèn)題和生活中的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，可以達(dá)到最經(jīng)濟(jì)、最節(jié)約和最高效率下面介紹幾個(gè)簡(jiǎn)例濟(jì)、最節(jié)約和最高效率下面介紹幾個(gè)簡(jiǎn)例在平面幾何問(wèn)題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動(dòng)時(shí)，求某幾何量（如線段的長(zhǎng)在平面幾何問(wèn)題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動(dòng)時(shí)

4、，求某幾何量（如線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)）的最大值或最小值問(wèn)題，稱為最值問(wèn)題。度、圖形的面積、角的度數(shù)）的最大值或最小值問(wèn)題，稱為最值問(wèn)題。最值問(wèn)題的解決方法通常有兩種：最值問(wèn)題的解決方法通常有兩種：（1）應(yīng)用幾何性質(zhì)：應(yīng)用幾何性質(zhì)：①三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；②兩點(diǎn)間線段最短；兩點(diǎn)間線段最短；③連結(jié)直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線

5、段最短；連結(jié)直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短；④定圓中的所有弦中，直徑最長(zhǎng)。定圓中的所有弦中，直徑最長(zhǎng)。⑵運(yùn)用代數(shù)證法：⑵運(yùn)用代數(shù)證法：①運(yùn)用配方法求二次三項(xiàng)式的最值；運(yùn)用配方法求二次三項(xiàng)式的最值；②運(yùn)用一元二次方程根的判別式。運(yùn)用一元二次方程根的判別式。例1、A、B兩點(diǎn)在直線兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，在直線的同側(cè)，在直線L上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)P，使，使PAPBPAPB最小。最小。3所以把半圓三等分，便可得到梯形兩個(gè)頂點(diǎn)所以把半圓三

6、等分，便可得到梯形兩個(gè)頂點(diǎn)C，D，這時(shí)，梯形的底角恰為這時(shí)，梯形的底角恰為6060和和1201202.如圖如圖3－9292是半圓與矩形結(jié)合而成的窗戶，如果窗戶的周長(zhǎng)為是半圓與矩形結(jié)合而成的窗戶，如果窗戶的周長(zhǎng)為8米(m)(m)，怎樣才能得，怎樣才能得出最大面積，使得窗戶透光最好？出最大面積，使得窗戶透光最好？分析與解分析與解設(shè)x表示半圓半徑，表示半圓半徑，y表示矩形邊長(zhǎng)表示矩形邊長(zhǎng)ADAD，則必有，則必有2x2y2x2yπx=8x=8，

7、若窗戶的最大面積為若窗戶的最大面積為S，則，則把①代入②有把①代入②有即當(dāng)窗戶周長(zhǎng)一定時(shí)，窗戶下部矩形寬恰為半徑時(shí)，窗戶面積最大即當(dāng)窗戶周長(zhǎng)一定時(shí)，窗戶下部矩形寬恰為半徑時(shí)，窗戶面積最大3.3.已知已知P點(diǎn)是半圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試問(wèn)點(diǎn)是半圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試問(wèn)P在什么位置時(shí)，在什么位置時(shí)，PAPBPAPB最大最大(圖3－93)93)？分析與解分析與解因?yàn)橐驗(yàn)镻點(diǎn)是半圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)是半圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P近于近于A或B時(shí)，顯然時(shí)，顯然PAPBPAP

8、B漸小，在極限漸小，在極限狀況狀況(P(P與A重合時(shí)重合時(shí))等于等于ABAB因此，猜想因此，猜想P在半圓弧中點(diǎn)時(shí)，在半圓弧中點(diǎn)時(shí)，PAPBPAPB取最大值取最大值設(shè)P為半圓弧中點(diǎn)，連為半圓弧中點(diǎn)，連PBPB，PAPA，延長(zhǎng)，延長(zhǎng)APAP到C，使，使PC=PAPC=PA，連，連CBCB，則，則CBCB是切線是切線為了證為了證PAPBPAPB最大，我們?cè)诎雸A弧上另取一點(diǎn)最大，我們?cè)诎雸A弧上另取一點(diǎn)P′，連′，連P′A，P′B，延長(zhǎng)，延長(zhǎng)AP