利用數(shù)學原理求函數(shù)的最值問題

1、<p>　　利用數(shù)學原理求函數(shù)的最值問題</p><p>　　在中學數(shù)學的教學中，經(jīng)常遇到求函數(shù)最值的問題，所謂最值是指在某區(qū)間內(nèi)的最大值或最小值，即：一般地，設函數(shù)y=f（x） 的定義域為I，如果存在實數(shù)M，①對任意x∈I，f（x）≤M；②存在x0∈I， f（x0）=M，稱M為f（x）的最大值，若存在實數(shù)N，滿足x∈I，f（x）≥N，存在x0，f（x0）=N，則稱N為f（x）的最小值.下面談談利用數(shù)學

2、原理求函數(shù)的最值問題. </p><p>　　一、利用二次函數(shù)圖像的性質及最值的概念求最值 </p><p>　　例：設f（x）=-x2+4xSinθ，x∈[-1，1]，其中-π/2≤θ≤π/2，求函數(shù)f（x）的最值. </p><p>　　分析：因為函數(shù)f（x）=-x2+4xSinθ，自變量x，在[-1，1]范圍內(nèi)，而角θ∈[-π/2，π/2]；x2的系數(shù)為-1，

3、因此，f（x）=-x2+4xSinθ為二次函數(shù).其圖像為拋物線.又因為x2項系數(shù)為-1，小于1，所以f（x）的圖像為拋物線且開口向下.所以f（x）在區(qū)間[-1，1 ]內(nèi)有最大值. </p><p>　　解：∵f（x）=-x2+4xSinθ </p><p>　　=-（x-2Sinθ）2+4Sin2θ（x∈R） </p><p>　　∴f（x）的圖像為開口向下的拋物線

4、，頂點坐標（2Sinθ，4Sin2θ） </p><p>　　∵x∈[-1，1] </p><p>　　∴當2Sinθ=-1，得θ=-π/6 </p><p>　　當2Sinθ=1， 得θ=π/6 </p><p>　　即當θ∈（-π/6，π/6）時，f（x）的最大值是4Sin2θ </p><p>　　當θ∈[-π/

5、2，-π/6 ]，因為拋物線開口向下，且拋物線頂點在直線x=-1左側（或在x=-1上） </p><p>　　因此，當x=-1時，f（x）達到最大值f（-1）. </p><p>　　f（-1）=-（-1）2+4（-1）Sinθ </p><p>　　=-1-4Sinθ </p><p>　　同理，當θ∈[π/6，π/2]時，f（x）最大值f

6、（1） </p><p>　　f（1）=-（+1）2+4×1×Sinθ= -1+4 Sinθ </p><p>　　∴根據(jù)函數(shù)f（x）=-x2+4xSinθ，x∈[-1，1]，-π/2≤θ≤π/2的圖像可求f（x）的最大值= </p><p>　　4Sin■θ，θ∈[-■，■]-1-4Sinθ，θ∈[-■，■]1+4Sinθ，θ∈[■，■] &l

7、t;/p><p>　　二、利用配方法及不等式的意義求最值 </p><p>　　例：已知x、y∈R，求y=x+2+■的最大值和最小值. </p><p>　　分析：求函數(shù)y=x+2+■的最大值和最小值，只要把y=x+2+■配方為： </p><p>　　y=x+2+■，再把■=■的右邊看作在直角三角形 Rt△ABC中，斜邊■，直角邊x+2的關系（

8、如圖1），令∠B=θ，Sinθ=■， x+2=■Sinθ，所以y=x+2+■就可以轉化三角函數(shù)的表達式：y= ■Sinθ+■=■Sinθ+■Cosθ=■Sin（θ+■）.最后根據(jù) </p><p>　　Sin（θ+■）的最值和不等式的意義便可求出原函數(shù)的最值了. </p><p><b>　　解：∵x、y∈R </b></p><p><

9、b>　　y=x+2+■ </b></p><p><b>　　=x+2+■ </b></p><p><b>　　=x+2+■ </b></p><p>　　又∵■、（x+2）可看作 Rt△ABC中的斜邊及直角邊，設∠B=θ </p><p><b>　　∴Sinθ=■

10、</b></p><p>　　x+2=■Sinθ </p><p><b>　　∴y=x+2+■ </b></p><p><b>　　=■Sinθ+■ </b></p><p>　　=■Sinθ+■Cosθ （θ為銳角） </p><p>　　=■（Sinθ?■

11、+Cosθ?■） </p><p>　　=■Sin（θ+■） </p><p><b>　　∵-■≤θ≤■ </b></p><p><b>　　-■≤θ+■≤■ </b></p><p>　　∴-■≤Sin（θ+■）≤1 </p><p>　　∴-■≤■Sin（θ+■）≤■

12、 </p><p>　　∴-■≤x+2+■≤■ </p><p>　　∴函數(shù)y的最大值為■，最小值為-■ </p><p>　　∴y的最大值為■，最小值為-■. </p><p>　　三、利用（a-b）2≥0，a?b為實數(shù)及不等式的意義求最值 </p><p>　　例：如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，

13、AC=4，BC=3，點P、Q分別在邊AB、AC上移動，且線段PQ把△ABC分為面積相等的兩部分，求線段PQ的長度的最小值. </p><p>　　分析：由于PQ把△ABC分為面積相等的兩個部分，△APQ和四邊形PQCB，由已知：∵S△APQ=S四邊形PQCB </p><p>　　∴■AP?AQ?SinA=■?■BC?AC </p><p>　　∴AP?AQ?Sin

14、A=■BC?AC </p><p>　　AP?AQ=■BC?AC?■= ■×3×4×■=10 </p><p>　　又∵在Rt△ABC中：SinA=■=■=■=■ </p><p>　　CosA=■=■=■=■ </p><p>　　又∵（AP-AQ）2≥0 （∵AP?AQ∈R） </p><

15、p>　　∴AP2+AQ2≥2AP?AQ </p><p>　　又∵在△APQ中，由 </p><p>　　PQ2=AP2+AQ2-2AP?AQ?CosA≥2AP?AQ-2AP?AQ?CosA </p><p>　　=2（1-CosA）AP?AQ </p><p>　　=2（1-■）×10 </p><p&g

16、t;<b>　　=4 </b></p><p><b>　　∴PQ≥2 </b></p><p>　　根據(jù)利用最值的意義，可見線段PQ的最小值為2. </p><p><b>　　解：略. </b></p><p>　　四、利用基本不等式“正數(shù)的算術平均值不小于幾何平均值”及最

17、值的意義求最值 </p><p>　　例：在半徑為R的球內(nèi)作一內(nèi)接圓錐，求圓錐的最大體積. </p><p>　　分析：此題為求圓錐的最大體積，也就是求內(nèi)接圓錐體積的最大值問題. </p><p>　　設內(nèi)接圓錐的高為h，底半徑r，體積為V，如圖3. </p><p>　　則：V=■πr2h </p><p>　　=■

18、πr2（R+■） </p><p>　　令r=R?Cosθ，其中0<θ<■ </p><p>　　于是：V=■πr2（R+■） </p><p>　　=■πr2（R+R?Sinθ） </p><p>　　=■π?R2Cos2θ?R（1+Sinθ） </p><p>　　=■πR3（1-Sin2θ）（1+Si

19、nθ） </p><p>　　=■πR3（1-Sinθ）（1+Sinθ）（1+Sinθ） </p><p>　　1-Sinθ、1+Sinθ都為正數(shù)，因此根據(jù)函數(shù)的算術平均值不小于幾何平均值的原理可得： </p><p>　　V=■πR3（1-Sinθ）（1+Sinθ）（1+Sinθ） </p><p>　　=■πR3[2（1-Sinθ）?（1

20、+Sinθ）?（1+Sinθ）] </p><p>　　≤■πR3（■）3 </p><p><b>　　=■πR3?■ </b></p><p><b>　　=■R 3?■ </b></p><p><b>　　=■πR3 </b></p><p>&

21、lt;b>　　即V≤■πR3 </b></p><p>　　根據(jù)最值的意義可確定體積V的最大值為■πR■ </p><p><b>　　解：略. </b></p><p>　　以上案例都是利用了數(shù)學的原理來求不同函數(shù)的最值問題.除此之外，只要我們認真研究、深入挖掘，定能找出更多、更好的利用數(shù)學原理的方法，來求函數(shù)的最值.因此，