初中數(shù)學(xué)《幾何最值問題》典型例題

1、1初中數(shù)學(xué)《最值問題》典型例題初中數(shù)學(xué)《最值問題》典型例題一、解決幾何最值問題的通常思路一、解決幾何最值問題的通常思路兩點(diǎn)之間線段最短；兩點(diǎn)之間線段最短；直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線段中，垂線段最短；直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線段中，垂線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊（重合時(shí)取到最值）三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊（重合時(shí)取到最值）是解決幾何最值問題的理論依據(jù)，根據(jù)不同特征轉(zhuǎn)化是解決最

2、值問題的關(guān)鍵通過轉(zhuǎn)化減少變量，向三個(gè)定理靠攏進(jìn)而解決問題；直接調(diào)用基本模型也是解決幾何最值問題的高效手段幾何最值問題中的基本模型舉例圖形lPBANMlBAAPBl原理兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短三角形三邊關(guān)系特征A，B為定點(diǎn)，l為定直線，P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求APBP的最小值A(chǔ)，B為定點(diǎn)，l為定直線，MN為直線l上的一條動(dòng)線段，求AMBN的最小值A(chǔ)，B為定點(diǎn)，l為定直線，P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|APBP|的最大值軸對稱最值轉(zhuǎn)

3、化作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對稱點(diǎn)先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對稱點(diǎn)作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對稱點(diǎn)圖形BNMCAB原理兩點(diǎn)之間線段最短特征在△ABC中，M，N兩點(diǎn)分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△BMN沿MN翻折，B點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為B，連接AB，求AB的最小值折疊最值轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化成求ABBNNC的最小值二、典型題型二、典型題型1如圖：點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上運(yùn)動(dòng)，若∠AOB=45

4、，OP=，則32△PMN的周長的最小值為【分析】作P關(guān)于OA，OB的對稱點(diǎn)C，D連接OC，OD則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長根據(jù)對稱的性質(zhì)可以證得：△COD是等腰直角三角形，據(jù)此即可求解【解答】解：作P關(guān)于OA，OB的對稱點(diǎn)C，D連接OC，OD則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長∵PC關(guān)于OA對稱，3【題后思考】考查關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)，兩點(diǎn)之間線段最短等

5、知識(shí)3如圖，A、B兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)，點(diǎn)A到直線的距離AM=4，點(diǎn)B到直線的距離BN=1，且MN=4，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，|PA﹣PB|的最大值為DPB′NBMA【分析】作點(diǎn)B于直線l的對稱點(diǎn)B′，則PB=PB′因而|PA﹣PB|=|PA﹣PB′|，則當(dāng)A，B′、P在一條直線上時(shí)，|PA﹣PB|的值最大根據(jù)平行線分線段定理即可求得PN和PM的值然后根據(jù)勾股定理求得PA、PB′的值，進(jìn)而求得|PA﹣PB|的最大值【解答】解：作點(diǎn)B于直線l的對

6、稱點(diǎn)B′，連AB′并延長交直線l于P∴B′N=BN=1，過D點(diǎn)作B′D⊥AM，利用勾股定理求出AB′=5∴|PA﹣PB|的最大值=5【題后思考】本題考查了作圖﹣軸對稱變換，勾股定理等，熟知“兩點(diǎn)之間線段最短”是解答此題的關(guān)鍵4動(dòng)手操作：在矩形紙片ABCD中，AB=3，AD=5如圖所示，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的A′處，折痕為PQ，當(dāng)點(diǎn)A′在BC邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng)若限定點(diǎn)P、Q分別在AB、AD邊上移動(dòng)，則點(diǎn)A′在B